巴苏定理

在统计学中，巴苏定理（Basu's Theorem）指出任何有界完全的充分统计量与任何辅助统计量独立。 这是Debabrata Basu于1955年发现的结论。

定理陈述
设P_\theta是可测空间(X, \Sigma)上的一族分布。如果T是\theta的充分且有界完全的统计量，A是关于\theta的辅助统计量，那么T独立于A。

证明
对任意博雷尔集B，构造函数h_B(T)\equiv P_\theta(A\in B|T)-P_\theta(A\in B)。注意到记号h_B是合理的，因为这一函数不取决于\theta。第一项不取决于\theta是因为T的充分性，第二项不取决于\theta是因为A是关于\theta的辅助统计量。注意到h_B有界并且期望为0。因此，T的有界完全性保证了h_B几乎处处为0。由于B可以是任意博雷尔集，定理得证。

例子
正态分布（方差已知）的样本期望值独立于样本方差
让 X1, X2,..., Xn 是独立同分布的正态分布随机变量，其中方差
\sigma^2已知，均值\mu未知。

关于参数\mu，可以证明样本均值
:\widehat{\mu}=\frac{\sum X_i}{n},
是充分完全统计量，并且样本方差
:\widehat{\sigma}^2=\frac{\sum \left(X_i-\bar{X}\right)^2}{n-1},
是辅助统计量，即其分布并不依赖于\mu。

因此，巴苏定理指出二者独立。

尽管上述证明是借助方差已知均值未知的正态分布模型完成的，这一结论并不只在该情况下成立。实际上，无论方差或均值已知与否，正态分布的样本均值和样本方差都是独立的。更进一步，正态分布是唯一具有这一性质的分布。

参考文献