x²+1素数问题是一個未解决的数学问题，其陳述如下：是否存在无穷个正整数x，使得x²+1為素数？
這個問題得到许多数论学者的關注，有學者認為這個問題比孪生素数猜想更加困难，因为在正整数中，x²+1的数比p+2稀少，故x²+1为素数的概率更小。
10000以內的x²+1素数為（）：2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837。
歷史
在1912年的国际数学家大会上，愛德蒙·蘭道就素數理論的發展和黎曼ζ函數作演說，當中他提及四個“以目前的科學狀況無法攻克”的關於素數的問題之中，第四個問題便是：“函數u²+1在u取整數值時是否給出了無窮多個質數？”
推論
一般地說，設f(x)=ax^2+bx+c為整系數二次函數可以證明，若f(x)能取無窮多次的質數值，那麼a, b, c須符合以下條件：
#a, b, c的最大公约数為1，
#a+b和c不能都是偶数，
#b²-4ac不是完全平方数。
一個廣義化的猜想便是，若a為正數且a, b, c符合上述3個條件，那麼f(x)便能取無窮多次的質數值（見布尼亚科夫斯基猜想）。
進展
1923年，英國數學家哈代和李特爾伍德猜測：
:\#\left(\{n:n=k^2+1\,\text{and}\, n2\atop {p\in \mathbb{P}}} } \left[1-\frac{1}{p-1}\left(\frac{-1}{p}\right)\right]\frac{\sqrt{x}}{\ln x}
根據，存在無窮多個形如a^2+b^4的質數。
在1978年，亨里克·伊萬尼克證明了存在無窮多個x，使得x^2+1至多是兩個質數的積。
註釋
参考文献
[http://www.isg.rhul.ac.uk/~prai175/ISGStudentSem07/Primesaq2p1Slides.pdf Kaisa Matomäki, Approaches to primes of the form* aq2 + 1] , Department of Mathematics, University of London, 2008. section 1.
*
*
参见
*素数判定法则
*蘭道問題
*布尼亞科夫斯基猜想
*欣策爾假設H
评论 (0)