格林-陶定理

格林-陶定理（）是和陶哲轩于2004年证明的一个关于质数组成的等差数列存在性定理。质数序列包含任意长的等差数列，是格林-陶定理的著名推论。

定理内容
对于任意的素数集合的子集A，若A相对于素数集合的上密度（）为正，即：

: \limsup_{N\rightarrow\infty} \dfrac{\pi(N)}>0
: 其中，\pi(N)代表不大于N的素数的个数。

那么：

: 对于任意的正整数k，A中的元素可以组成任意多个长度为k的等差数列。

推论
格林-陶定理有以下两个直接的推论：

• 对于任意正整数k，质数序列中存在任意多长度为k的等差子序列
• 质数序列中包含有任意长的等差子序列

目前已知的最長質數等差數列
质数序列中长度为k的等差子序列，對於1≤n≤k，目前最好的結果是對於k=26，此等差數列為：

: {an=43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 223,092,870 ·(n-1)}

相关定理与猜想

• 格林-陶定理是塞迈雷迪定理在素数集上的推广。
• 格林-陶定理是埃尔德什等差数列猜想的一个特例。
• 更強的猜想是對於任何正整數r，質數序列中都存在任意長度非r−1階階差數列的r階階差數列（0階階差數列是常數數列，1階階差數列是等差數列，依此類推），格林-陶定理就是r=1的特例。對於2階階差數列，质数序列中长度为k的二階階差子序列，對於0≤n≤k−1，目前最好的結果是對於k=45，此數列為36n^2-810n+2753（不管各項的大小順序，只要序列中沒有重複的質數就可以）。

参考文献
外部链接
*[http://mathworld.wolfram.com/news/2004-04-12/primeprogressions MathWorld news article on proof]
*[http://primerecords.dk/aprecords.htm Primes in Arithmetic Progression Records]