素数公式

在数论中，质数公式是输出质数的公式。计算素数的公式确实存在，但相比简单的素数查找算法，这类公式的计算速度就显得非常慢。已知有若干限制条件，这些限制说明了这样的「公式」可以是什么，以及不能是什么。

多项式形式的素数公式
可以证明，一个整系數多项式 P(n)，如果不是常數函數的话，不会是一个素数公式。证明很简单：假设这样的一个多项式 P(n) 存在。那么 P(1) 将是一个素数 p。接下来考虑 P(1+kp) 的值。由于P(1) \equiv 0 \pmod p，對于任意整數 k，我们有 P(1+kp) \equiv 0 \pmod p ，從而 P(1+kp) 是 p 的倍数，但已然假设 P 是素数公式，所以P(1+kn) 必须是素数，于是它就只能等于 p。也就是說，对于任意的 k，1 + kp 都是多项式 P(n) - p 的一個根。但根據代數基本定理，一個非零的整系數多項式不可能有無窮多個根。故此，P(n) 只能是常数函數。

应用代数数理论，可以证明更强的结果：不存在能够对几乎所有自然数输入，都能产生素数的非常数的多项式P(n)。

欧拉在1772年发现，对于小于40的所有自然数，多项式
:f(n)=n^{2}+n+41
的值都是素数。对于前几个自然数 n = 0, 1, 2, 3, \cdots，多项式的值是41, 43, 47, 53, 61, 71...。当 n 等于40时，多项式的值是1681=41×41，是一个合数。实际上，当 n 能被41整除的时候，P(n) 也能被41整除，因而是合数。这个公式和所谓的质数螺旋有关，也和黑格納數163=4\cdot 41-1有關。若 p=2, 3, 5, 11, 17 時，其對應的多項式也有類似的性質，而 4\cdot p -1 也是黑格納數。

狄利克雷定理证明了，对于互素的a和b， 線性函數 L(n) = an + b 能产生无穷多个质数（尽管不是对于所有的自然数 n）。至于是否存在次数大于等于2的多项式，满足对无穷多个整数，都能取到素数值，目前还没有结论。

此外，格林-陶定理证明了另一结论：对于每个正整数 k，都存在着整数对 a, b，使得对于每个0与 k-1 之间的 n，L(n) = an+b 都是素数。然而，对于比较大的 k，找出 a 和 b 是很困难的。目前最好的结果是对于 k = 26，
:P(n) = 5283234035979900n + 43142746595714191（）

丢番图方程形式的素数公式
一个很著名的素数公式是以下的有26个未知数的由14个方程组成的丢番图方程组Jones et al.（1976）：

:0 = wz + h + j - q
:0 = (gk + 2g + k + 1)(h + j) + h - z
:0 = 16(k + 1)^3(k + 2)(n + 1)^2 + 1 - f^2
:0 = 2n + p + q + z - e
:0 = e^3(e + 2)(a + 1)^2 + 1 - o^2
:0 = (a^2 - 1)y^2 + 1 - x^2
:0 = 16r^2y^4(a^2 - 1) + 1 - u^2
:0 = n + l + v - y
:0 = (a^2 - 1)l^2 + 1 - m^2
:0 = ai + k + 1 - l - i
:0 = ((a + u^2(u^2 - a))^2 - 1)(n + 4dy)^2 + 1 - (x + cu)^2
:0 = p + l(a - n - 1) + b(2an + 2a - n^2 - 2n - 2) - m
:0 = q + y(a - p - 1) + s(2ap + 2a - p^2 - 2p - 2) - x
:0 = z + pl(a - p) + t(2ap - p^2 - 1) - pm.

对于这个方程组的所有正整数解：(a,b,\cdots,z)，k+2 都是素数。可以把这个公式改写成多项式的形式：将14个等式记作 p_1, p_2, \cdots, p_{14}，那么可以说，多项式 (k+2)(1-p_1^2-p_2^2-\cdots- p_{14}^2) 的输入值(a,b,\cdots,z)是正整数时，其值域的正值部分就是所有素数。

根据尤里·马季亚谢维奇的一个定理，如果一个集合能够被定义成一个丢番图方程的解集，那么就可以被定义为一个只有9个未知数的丢番图方程的解集。于是，素数集合可以被定义为一个只含10个变元的多项式的正值解集。然而，这个多项式的次数极大（在1045数量级），另一方面，也存在次数不超过4的多项式，未知数个数是58个。

带高斯符號的素数公式
利用高斯符號[x]，可以建立一些第 n 个素数的表达式：

Mills公式
第一个带高斯函数的素数公式由W. H. Mills在1947年构造。他证明了存在实数 A 使得数列

:[ A^{3^{n}}\;]

中的每个数都是素数。最小的 A 称为米爾斯常數，如果黎曼猜想成立，它的值大約為： A \approx 1.30637788386308069046\ldots（）。
这个素数公式并没有什么实际价值，因为人们对 A 的性质所知甚少，甚至不知道 A 是否為有理数。而且，除了用素数值逼近外，没有其他计算 A 的方法。

威尔逊定理的利用
使用威尔逊定理，可以建立一些其他的素数公式。以下的公式也没有什么实际价值，大多数的素性测试都比它远为有效。

我们定义
:\pi(m) = \sum_{j=2}^m \frac { \sin^2 ( {\pi \over j} (j-1)!^2 ) }
{ \sin^2( {\pi \over j} ) }

或者
:\pi(m) = \sum_{j=2}^m \left[ {(j-1)! + 1 \over j} - \left[ {(j-1)! \over j}\right] \right].

这两种定义是等价的。\pi(m)就是小于 m 的素数个数。于是，我们可以定义第 n 个素数如下：

:p_n = 1 + \sum_{m=1}^{2^n} \left \lbrack \left \lbrack { n \over 1 + \pi(m) } \right\rbrack^{1 \over n} \right\rbrack.

另一个用高斯函数的例子
这个例子没有用到阶乘和威尔逊定理，但也大量应用了高斯函数（S. M. Ruiz 2000）。首先定义：
:\pi(k) = k - 1 + \sum_{j=2}^k \left\lbrack {2 \over j} \left(1 + \sum_{s=1}^{\left\lbrack\sqrt{j}\right\rbrack} \left(\left\lbrack{ j-1 \over s}\right\rbrack - \left\lbrack{j \over s}\right\rbrack\right) \right)\right\rbrack

然后就有第 n 个素数的表达式：
:p_n = 1 + \sum_{k=1}^{2(\lbrack n \ln(n)\rbrack+1)} \left(1 - \left\lbrack{\pi(k) \over n} \right\rbrack\right).

递推关系
另外一个素数公式由以下递推关系組成的數列，其前後項的差來定义：
: a_n = a_{n-1} + \operatorname{gcd}(n,a_{n-1}), \quad a_1 = 7,
其中 \gcd(x, y) 表示 x 和 y 的最大公因數。这个数列的开始几项 a_{n+1} - a_n 是1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1 。证明了这个数列只含有一和素数。

其他公式
威尔逊定理衍生公式
:f(n) = 2 + (2n! \; \pmod{n+1})

其中，素数2出现无限多次，其余的素数恰好出现一次。实际上，当 n+1 是素数 p 的时候，由威尔逊定理，2n! \; \pmod{n+1}等于p-2，于是f(n) = p，当n+1是合数的时候，2n! \pmod{n+1}等于0，于是得到2。

參考資料
参见
*素数
*質數定理
*哥德巴赫猜想
*双生质数
*埃拉托斯特尼筛法
*费马数F_{n} = 2^{2^n} + 1
*X²+1素数