古埃及分數
古埃及分數是把任意的一个分数用一系列單位分數的和来表示该分数的一种分数表示法。所谓单位分数就是分子固定為1，分母為正整數的分数。任何正有理數都能用古埃及分数来表达。 構造 古埃及分數的表達形式不是唯一的，還未找到一個算法總是給出最短的形式。 貪婪演算法 贪婪算法：将某一给定分数分解成若干项单位分数后，若这种分解方法所得到的单位分数的项数最少，则称其为第一种好算法；如果得到的最大分母数值最小，则称其为第二种好算法。例如： \frac{2}…
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数字和
一个整数的数字和，是將一數在特定記數系統中的每一個位數相加起来所得的和。例如，84001在十進制中的数字和是13，即。 这个概念与數字根有密切的关系，但并不相同，数字根是把所有数字相加起来所得的和，然后再把这个和的所有数字相加起来，又得到一个和，重复这个步骤，直到最终只剩下一个数字，这个数字便称为数字根。数字和可以是任意正整數的值，而数字根只能是0到9。 在十進制中，数字和可以用来判断一个数是否能被3或9整除。如果数字和能被3或9整除，…
算术基本定理
算术基本定理，又称为正整數的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数，要么本身就是质数，要么可以写为2個或以上的質數的积，而且这些質因子按大小排列之后，写法僅有一種方式。 例如：6936 = 2^3 \times 3 \times 17^2，1200 = 2^4 \times 3 \times 5^2，5207 = 41 \times 127。 算术基本定理的内容由两部分构成： 分解的存在性： 分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解…
亂數斐波那契數列
亂數斐波那契数列是一個類似斐波那契数列的數列，由以下的遞迴關係式所定義： :fn = fn−1 ± fn−2 其中正負號是依亂數決定，機率各是1/2，每次的正負號有統計獨立性。 依照Harry Kesten及Hillel Fürstenberg的理論，這類的亂數遞迴關係式會依某種指數增長的方式增長，但其增長的速率很難具體的計算出來，1999年時Divakar Viswanath證明亂數斐波那契数列的增長速率為1.131988248794…
友誼數
在數論中，友誼數是指二個正整數m和n滿足σ(m)/m = σ(n)/n的關係，其中σ(n)是因數函數，則稱它們是朋友，此二個整數互為友誼數。 例如(1+2+4+5+8+10+16+20+40+80)/80 = (1+2+4+5+8+10+20+25+40+50+100+200)/200 = 93/40，因此80和200都是友誼數。 友誼數為传递关系，若m和n為友誼數，n和p為友誼數，則m和p必為友誼數。 所有的已知的友誼數有6, 12,…
循环小数
循环小数，也稱為無限循環小數，是從小數部分的某一位起，一個數字或幾個數字，依次不斷地重複出現的小數。 定義 循環小數都為有理數的小數表示形式，例： {5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots=1.25\overline{0}=1.24999999\cdots=1.24\overline{9} {1 \over 3}=0.3333333\cdots=0.\overline{3} {1 \over 7}=0.{\co…
法里數列
數學上，n階的法里數列是0和1之間最簡分數的數列，由小至大排列，每個分數的分母不大於n。每個法里數列從0開始，至1結束，寫作0⁄1和1⁄1，但有些人不把這兩項包括進去。有時法里數列也稱為法里級數，嚴格來說這名字不正確，因為法里數列的項不會加起來。 例子 1至8階的法里數列如下： :F1 = {0⁄1, 1⁄1} :F2 = {0⁄1, 1⁄2, 1⁄1} :F3 = {0⁄1, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 1⁄1} :F4 = {0⁄…
梅森猜想
在數論上，新梅森猜想是有關質數的猜想，它說明：對於任何奇自然數p，若以下其中兩句敍述成立，剩下的一句就會成立： #p=2^k\pm1 或 p=4^k\pm3 #2^p-1是質數（梅森質數） #(2^p+1)/3是質數（瓦格斯塔夫質數） 参见 梅森素数 因特网梅森素数大搜索（GIMPS） 新梅森猜想 埃拉托斯特尼筛法 米勒-拉宾检验 试除法 费马素性检验 卢卡斯-莱默检验法 孪生素数 三胞胎素数 四胞胎素数 素数判定法则 表兄弟素数 六素…
吉爾布雷斯猜想
在數論上，如果將所有質數寫出，然後計算出相鄰數的差，得出一個新的數列，又再計算新數列相鄰數的差，重複這個動作無限次： : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... : 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, ... : 1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, ... : 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, ... : 1, 2, 0, 0, 0,…
勒让德定理
勒让德定理指的是在正数n!的质因数分解中，質数p的指数记作\nu_p(n!)，则\nu_p(n!)=\sum_{k\ge 1} \left\lfloor{n \over p^k}\right\rfloor。有時這定理又以阿尔方·德·波利尼亚克為名而稱為德·波利尼亚克公式（de Polignac's formula）。 背景 勒让德定理是由法国数学家勒让德发现证明的。 证明 若把2,3,\cdots,n都分解成了标准分解式，则\nu_p(…
數根
在數學中，數根（又稱位數根或數字根Digital root）是自然數的一種性質，換句話說，每個自然數都有一個數根。 數根是將一正整數的各個位數相加（即橫向相加），若加完後的值大於10的話，則將該值進行橫向相加直到其值小於10為止，或是，將一數字重複做數字和，直到其值小於10為止，則所得的值為該數的數根。 例如54817的數根為7，因為5+4+8+1+7=25，25大於10則再加一次，2+5=7，7小於10，則7為54817的數根。 用途…
六次方數
在算术和代数中，一个数字的六次方（六次方數）是指六個相同的數字相乘後得到的結果。六次方數也可以是某個數字的平方數以及立方數。 :. 一个数字乘以它的五次方數、或者這個數字的平方数乘以它的四次方數可以得到它的六次方數。一個數字的平方数的立方數以及這個數字的立方數的平方数也是這個數字的六次方數。 以下為整數當中的六次方數： :729000000…… 参考文献
数论年表
数论的时间軸。 公元前1000年之前 约公元前 20,000 年—尼罗河谷的伊尚戈骨：可能是最早提及質数和的文献，但这点尚存在争议。 约公元前300年 公元前 300 年——欧几里得证明存在無窮多個質数。 公元第一个千年 250年 — 丢番图撰写了《》 ，这是最早的代数专着之一。 500年 — 阿耶波多求解一般线性丢番图方程。 628年 — 婆羅摩笈多提出（Brahmagupta's identity），并求解佩尔方程。 约650年 —…
算术研究
《算术研究》（***）是德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯於1798年写成的一本数论教材，在1801年他24岁时首次出版。全书用拉丁文写成。在这本书中高斯整理汇集了费马、欧拉、拉格朗日和勒让德等数学家在数论方面的研究结果，并加入了许多他自己的重要成果。 写作历史 高斯在1796年就准备写一本数论的著作。一年後，他完成了初稿。1797年11月，高斯开始对初稿进行重写和修订，使之成为可以印刷出来的成熟版本。印刷工作於1798年4月开始，但由于…
稀疏尺
稀疏尺（Sparse ruler）指的是去掉了一些刻度的尺子。抽象来说，一个长度为L，有m个刻度的稀疏尺可以被记为整数序列a_1, a_2, ..., a_m(0 = a_1 )。刻度a_1和a_m对应尺子的首尾。为了能够测量长度K（0\le K\le L），我们需要存在刻度a_i,a_j使得a_j-a_i=K 。 如果一个稀疏尺能够测量不超过它的长度的任意整数长度，称这个稀疏尺是完全的。对于一个完全稀疏尺，如果不存在另一个长度相同但刻…
阿基米德公理
在抽象代数和分析学中，以古希腊数学家阿基米德命名的公理，是一些赋范的群、域和代数结构具有的一个性质，可表述如下： 對於任何正實數 a 及 b，即使 a 多麼小，或是 b 多麼大，也必定存在自然數 n，使得 an>b。 這公理的粗略意義是，數字系統不存在具有无穷大或无穷小性質的元素。 这个概念源于古希腊对量的理论。由于它出现在阿基米德的《论球体和圆柱体》的公理五，1883年，奧地利數學家赋予它这个名字。 在現代實分析中，這性質不是一個公理…
皮萨诺周期
在数论中，自然数 n 的皮萨诺周期（通常记为π(n)）是斐波那契数列模 n 后的周期，以意大利数学家莱昂纳多·皮萨诺（即斐波那契）的名字命名。斐波那契数列取模後，周期的存在性曾在1774年为约瑟夫·拉格朗日所提及。 定义 斐波那契数列是： : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 1…
幂和
幂和可以指： 等幂和差 等幂求和 等幂和问题 费马大定理 *黎曼ζ函數
单位群
在环中，所有可逆元素叫环的单位，所有单位对乘法可构成一个乘法群，叫环的单位群。对环（域）来说，单位群所有元素，和环（域）的所有元素有多少相同，有多少不同，可由环的素理想，分式理想，理想类群来度量。 整数环Z的单位只有1，-1，单位群同构于循环群C2。模n 的剩余类环Zn单位群记为U（Zn）。仅有U（Z3），U（Z4），U（Z6），U（Z8），U（Z12），U（Z24）非单位元的阶均为2；非单位元的阶均为其他素数p（p > 2）的单位群不…
巴尼斯G函数
巴尼斯G函数是超级阶乘函数在复数上的扩展。它与Γ函数、K函数以及格莱舍常数（Glaisher constant）有关。以数学家欧尼斯特·巴尼斯（Ernest William Barnes）的名字命名。 巴尼斯G函数可以通用魏尔施特拉斯分解定理的形式定义为： :G(z+1)=(2\pi)^{z/2} e^{-[z(z+1)+\gamma z^2]/2}\prod_{n=1}^\infty \left[\left(1+\frac{z}{n}…