算术基本定理，又称为正整數的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数，要么本身就是质数，要么可以写为2個或以上的質數的积，而且这些質因子按大小排列之后，写法僅有一種方式。
例如：6936 = 2^3 \times 3 \times 17^2，1200 = 2^4 \times 3 \times 5^2，5207 = 41 \times 127。
算术基本定理的内容由两部分构成：
- 分解的存在性：
- 分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素數乘积的方式是唯一的。
算术基本定理是初等數論中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。
定理陳述
\forall A\in\mathbb{N},\,A>1\quad\exist \prod_{i=1}^n p_i^{a_i}=A. 其中 p_1 而且 p_i 是一个質数，a_i\in\mathbb{Z}^+.
這種表示的方法存在，而且是唯一的。
證明
算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。准确的说，欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题：若質數p|ab，则不是 p|a，就是p|b。然而，在欧几里得的时代，并没有发展出幂运算和指数的写法，甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的，所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。
存在性
用反證法：假設存在大於 1 的自然數不能寫成質數的乘積，把最小的那個稱為 n。
n 不可爲質數，因爲 n=n 可被寫成質數的乘積。因此 n 一定是合數，但每個合數都可以分解成兩個嚴格小於自身而大於 1 的自然數的積。設
n = a \times b ，則根據假設，由於 n 是最小的不能被寫成質數乘積的自然數，所以 a=p_1p_2...p_j 和 b=q_1q_2...q_j 都能被寫成質數的乘積。然而 n=ab=p_1p_2...p_jq_1q_2...q_j 也可以寫成質數的乘積，由此產生矛盾，故大於 1 的自然數必可寫成質數的乘積。
唯一性
歐幾里得引理：若質數p|ab，则不是 p|a，就是p|b。
引理的证明：若p|a 则证明完毕。若p \nmid a，那么两者的最大公约数为1。根据貝祖等式，存在(m, n) 使得ma + np =1。于是b = b(ma + np) = abm + bnp。
由于p|ab，上式右边两项都可以被p整除。所以p|b。
再用反證法：假設有些大于1的自然數可以以多于一种的方式寫成多个質數的乘積，那么假设n是其中最小的一個。
首先n不是質数。將n用兩種方法寫出：n=p_1 p_2 p_3 \cdots p_r = q_1 q_2 q_3 \cdots q_s 。根據引理，質数p_1|q_1 q_2 q_3 \cdots q_s ，所以q_1, q_2, q_3 \cdots q_s 中有一個能被p_1整除，不妨设为q_1。但q_1也是質数，因此q_1 = p_1 。所以，比n小的正整数n'=p_2 p_3 \cdots p_r也可以写成q_2 q_3 \cdots q_s 。这与n 的最小性矛盾！
因此唯一性得证。
推廣
在一般的數域中，並不存在相應的定理；事實上，在虛二次域 \mathbb{Q}(\sqrt{-d}) \quad (d \in \mathbb{N}) 之中，只有少數幾個能滿足。例如，6可以以兩種方式在 \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] 中表成整數乘積：2\times 3 和 (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})。一個自然的問題是a+b \sqrt[]{-d}哪个d值可以得到唯一分解定理？在高斯时代，已知有9个d使得a+b \sqrt[]{-d}所产生的数有唯一因子分解（a，b如上面指出那样取值）。d=1,2,3,7,11,19,43,67,163高斯认为d的數量不會超過10個，但是没有人能够证明。
1952年，业余数学家，退休的瑞士工程师（Kurt Heegner）发表了他的证明，声称第10个高斯类数不存在。但是没有人相信他。世界又等待了15年之后才知道这个定理：麻省理工学院的斯塔克（Harold Stark）和剑桥大学的阿兰贝克（Alan Baker）独立用不同方法证明了第10个d值不存在。两个人重新检查了黑格纳的工作，发现他的证明是正确的。
为了紀念长期被忽视的黑格纳，上述的9個數被稱為黑格纳数，一些曲线上的点被命名为黑格纳点。
歐幾里得在普通整數 \mathbb{Z} 中証明了算術基本定理──每個整數可唯一地分解為素數的乘積，高斯則在複整數 \mathbb{Z}[\sqrt{-1}] 中得出並証明，只要不計四個可逆元素 (\pm 1, \pm i) 之作用，那麼這個唯一分解定理在 \mathbb{Z}[\sqrt{-1}] 也成立。高斯還指出，包括費馬大定理在內的普通素數的許多定理都可能擴大到複數域。
外部連結
- [http://demonstrations.wolfram.com/FundamentalTheoremOfArithmetic/ Fundamental Theorem of Arithmetic - Wolfram Demonstrations Project]
Primfaktorzerlegung#Fundamentalsatz der Arithmetik
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