循环小数

循环小数，也稱為無限循環小數，是從小數部分的某一位起，一個數字或幾個數字，依次不斷地重複出現的小數。

定義
循環小數都為有理數的小數表示形式，例：

{5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots=1.25\overline{0}=1.24999999\cdots=1.24\overline{9}

{1 \over 3}=0.3333333\cdots=0.\overline{3}

{1 \over 7}=0.{\color{red}142857}{\color{blue}142857}\cdots=0.\overline{142857}

性质
*一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。若该数为素数，循环节位数一定是N-1的因数（参见：费马伪素数）。為了证明这点，可用反证法。假设n的循环节为m，令m>n。将1/n乘以10，循环往复操作，会得到不同的余数。根据余数定义，余数的个数等于分母本身。又因为当余数为0的时候是整数而非循环小数，所以只有n-1种循环节。若长度为m位，则必有(m-n+1)种循环节无法轮替，所以一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。
*根據分數\frac{b}{a}的情況分開討論
::1.除数a为2^m\times 5^n\times K的倍數时，b\div a有max(m,n)个不循环位数，其中b為任意自然數，K為非2^m,5^n之其他數。
::2.如果1 \leqslant b ，a不是2或5的倍数，並且a與b互質，那麼存在一個正整數e，e為b\div a的循環節位數，而e=\operatorname{min}\left \{ e\in \mathbb{N}:10^e\equiv 1 \pmod{a} \right \}。
::::10^e \equiv 1 \pmod{a}表示10^e-1可以整除a，或稱10^e與1同餘）
::::事實上以該參考文獻的定理一公式推導式子:\frac {10^d \times b}{a} = q +\frac {b}{a}來看，b>a也成立，例如\frac{2}{7}與\frac{9}{7}，兩者循環小數一致，因為\frac{8}{7}=1+\frac{1}{7}，只差別在商，餘數皆為1(同餘)故成立。
::3.承接以上兩點，當除数a可以質因數標準分解式表示成(2^m\times 5^n)\times (P1^{S1}\times P2^{S2}\times ⋯\times Pn^{Sn})時，會有max(m,n)個不循環位數，和E個循環節位數。
::::其中，P1^{S1}, P2^{S2},⋯,Pn^{Sn}分別各有個循環節位數，存在一個最小公倍數E=[]。
::::例：\frac{11}{2^2\times3^2\times5^3\times7\times17}的循環節個數？
::::答：前三位不循環（2 和 5 的最高次方為 3），循環節個數是 48（因為3^2的循環節位數為1，7的循環節位數為6，17的循環節位數為16，[1,6,16]=48）

化為分數的方法
0.xxx...=x/((10^(上取(log(x))))-1)
(可能未約至最簡)

(⬇另一方法)
#先看有幾位「非循環節位數（{\color{blue}n\,\!}）」和「循環節位數（{\color{red}m\,\!}）」，算出後，將{\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ {\color{red}m\,\!} \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ {\color{blue}n\,\!} \end{matrix}}擺於「分母」。
#「分子」則是將「非循環節部分」和「循環節部分」併為一個數字，將其減去「非循環節部分」，即a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n，詳細公式如下。
#公式：0. a_1 a_2 a_3 \cdots a_{\color{blue}n\,\!} \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_{\color{red}m\,\!} }={{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {{\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ {\color{red}m\,\!} \end{matrix}}{\begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ {\color{blue}n\,\!} \end{matrix}}}}
#原理：
##令x=0. a_1 a_2 a_3 \cdots a_n \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }。
##則10^n x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n . \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }──①式。
##10^{n+m} x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m . \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }──②式。
##②－①⇒\left( 10^{n+m}-10^n \right)x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n。
##\begin{align}
x & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {10^{n+m}-10^n}} \\
& = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {10^n\left( 10^m-1 \right)}} \\
& = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {\begin{matrix} \underbrace{ 1000 \cdots 0 } \\ n \end{matrix}} \times {\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ m \end{matrix}}} \\
& = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {{\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ m \end{matrix}}{\begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ n \end{matrix}}}} \\
\end{align}。
#範例： 0.1 \overline{23} = \frac{123-1}{990} = \frac{61}{495} 。
##令x = 0.1 \overline{23}
##則10x = 1 . \overline{23} 、1000x = 123 . \overline{23}
##兩式相減得\left( 1000-10 \right)x = 123-1 ， 990x = 122\,\!
##∴ x = \frac{61}{495} 。

计算方法
利用短除法可以将分数(有理数，\mathbb{Q})转化为循环小数。

例如\frac{3}{7}可以用短除法计算如下：

7|3.00000000000000000
0.42857142857142857...

表示方法
循环小数在不同国家地区都有不同的表示惯例，但没有一种惯例是通用的。

*括线：在美国、加拿大、印度、法国、德国、意大利、瑞士、捷克共和国、斯洛伐克、斯洛文尼亚、智利和土耳其，惯例是在重复的循环节上方绘制一条水平线（括线）。

*上点：在一些伊斯兰国家，如马来西亚、摩洛哥、巴基斯坦、突尼西亚、伊朗、阿尔及利亚和埃及，以及英国、新西兰、澳大利亚、南非、日本、泰国、印度、大韩民国、新加坡和中国，惯例是将点放在重复的循环节最外围的数字上方。

*括号：在欧洲的部分地区，包括奥地利、丹麦、芬兰、荷兰、挪威、 波兰、俄罗斯和乌克兰，以及越南和以色列，惯例是将重复的循环节放在括号中。这会与的符号混淆。

*弧线：在西班牙和一些拉丁美洲国家，例如阿根廷、巴西和墨西哥，括线和上点以重复的循环节上的弧线替代。

*省略号：非正式地，重复小数通常用省略号表示（三个句点，0.333…），尤其是在学校首次教授以前的符号惯例时。这种符号会带来不确定性，即哪些数字应该循环，甚至是否会发生循环，因为这种省略号也用于无理数；例如，可以表示为3.14159…。

缺点
不唯一性
使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性，例如1.000000\cdots=1.\overline{0}=0.\overline{9}=0.999999\cdots

与進位制系統密切相关
由于循环小数与進位制系統密切相关，使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如：{1 \over 17}=0.{\color{red}0588235294117647}{\color{blue}0588235294117647}\cdots=0.\overline{0588235294117647}

但在某些进位制当中反而因为循环节较短，使得看起来相当简单。如{1 \over 17}={1 \over 11}_{(16)}=0.{\color{red}0F}{\color{blue}0F}\cdots_{(16)}=0.\overline{0F}_{(16)}

又或{1 \over 17}={1 \over 10}_{(17)}=0.1_{(17)}

参考资料
參見
*0.999…
*Midy定理

外部連結