在抽象代数和分析学中，以古希腊数学家阿基米德命名的公理，是一些赋范的群、域和代数结构具有的一个性质，可表述如下：
對於任何正實數 a 及 b，即使 a 多麼小，或是 b 多麼大，也必定存在自然數 n，使得 an>b。
這公理的粗略意義是，數字系統不存在具有无穷大或无穷小性質的元素。
这个概念源于古希腊对量的理论。由于它出现在阿基米德的《论球体和圆柱体》的公理五，1883年，奧地利數學家赋予它这个名字。
在現代實分析中，這性質不是一個公理，而是退卻為實數具完備性的結果。基於這理由，常以性質的叫法取而代之。
此性質在现代数学中，仍然起着重要的作用，例如有關有序群、有序域和局部域的理论，以及大卫·希尔伯特的几何公理系統。
形式敘述以及證明
解釋
簡單地說，阿基米德性質可以認為以下二句敘述的任一句：
#給出任何數，你總能夠挑選出一個整數大過原來的數。
#給出任何正數，你總能夠挑選出一個整數其倒數小過原來的數。
這等價于說，對於任何正實數a、b，如果a ，則存在自然數n，有
::: \underbrace{a+\cdots+a}_{n\text{ terms}} > b
与實數的完備性的关系
實數的完備性蘊含了阿基米德性質，證明利用了反證法：
假設對所有n，na （注意na表示n个a相加），令S=\{na|n=1,2,3,...\}，則b爲S的上界（S上方有界，依實數完備性，必存在最小上界，令其為\alpha），於是\forall n = 1,2,3,...有
::: na
得出\alpha -a也是S的一個上界，這與\alpha是最小上界矛盾。這樣就由實數的完備性推出了阿基米德性質，但阿基米德性質推不出實數的完備性，因為有理數滿足阿基米德性質，但並不是完備的。
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