《算术研究》（****）是德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯於1798年写成的一本数论教材，在1801年他24岁时首次出版。全书用拉丁文写成。在这本书中高斯整理汇集了费马、欧拉、拉格朗日和勒让德等数学家在数论方面的研究结果，并加入了许多他自己的重要成果。
写作历史
高斯在1796年就准备写一本数论的著作。一年後，他完成了初稿。1797年11月，高斯开始对初稿进行重写和修订，使之成为可以印刷出来的成熟版本。印刷工作於1798年4月开始，但由于机器的原因，速度缓慢。然而这也使得高斯有时间补充一些新的内容，特别是第五章的二次互反律的部分：1801年夏季最终出版时的长度已经是初稿时的两倍。
主题
《算术研究》包括了初等数论和现在称为代数数论领域的一部分。然而，高斯在书中并未认识到抽象代数的核心：群的概念，因此没有加以应用。高斯将这本书的主题定位为他所称的“高等算术”。在这本书的序言一开头，高斯明确地说到：
内容
全书有655页，分为七个部分共335篇文章，由浅入深，从同余理论起步，探讨了同余齐次式、同余方程和二次剩余理论。在二次剩余理论中，高斯在前人的基础上首次给出了二次互反律的证明。其后高斯又得出了双二次互反律和三次互反律，并对所谓的高斯整数进行了研究，得到了代数数论的一些基本成果 的“基础定理”的二次互反律：
:: 如果p是形式为4n+1，那么p（如果p是形式为4n+3那么-p）是模每个为模p的二次剩余（非剩余）的质数的二次剩余（非剩余）。
:高斯将这个命题分成多个单独情况，然后用归纳法给出了第一个证明，并运用这个定理得到了一些基本结果。
《算术研究》一书的逻辑结构——声明定理、给出证明，然后给出系理或推论——为以后的教科书编写提供了一个榜样，成了后世教材的标准结构。为了使读者能够理解证明的逻辑思路，高斯在证明后会给出相应的例子，这一点也为后来的教材所采用。同样在第五部分，高斯证明了可以被解释为黎曼猜想的第一类非平凡情况：哈斯-韦伊定理。
译本和相关著作
《算术研究》虽然是一部十分重要的数论著作，但由于全书以拉丁文写就，内容深奥难懂，因此将其翻译成各国语言和进行注释阐述的工作一直不断。1807年，《算术研究》的法文译本出版。1863年，狄利克雷写了《数论讲义》（Vorlesungen über Zahlentheorie）一书，对《算术研究》作了明晰的阐释。1889年德文译本出版。1959年出版了俄文译本；1965年出版了英文版。
引用
《算术研究》常常被引用，出现在各种数学论文、著作和教材的注释中。引用时一般简写为“DA”。
评价
*“高斯曾说：‘数学是科学的女皇，数论则是数学的女皇。’如果这是真理，我们还可以补充一点：《算术研究》是数论的宪章。”——莫里茲·康托爾
*“此书（《算术研究》）是一座不朽的丰碑，揭示了人类思想所能达到的浩瀚的广度和令人惊叹的深度。”——爱德华·卢卡斯
*“众书之王”——利奥波德·克罗内克
*“高斯首次将数学的这个部分（数论）变成了一门独立的科学，而《算术研究》则是第一部详尽而系统的著作。……由于雅可比和狄利克雷……这本二十年来一直被七道漆封的著作成为了当代的数学。……封漆还未完全解开。”——约翰·西奥多·梅兹
*“数论曾一度止步不前，……这就是为什么深奥而新颖的《算术研究》预示着高斯将成为欧洲最伟大的头脑之一。”——路易·潘索
参见
*数论
*卡尔·弗里德里希·高斯
*二次互反律
注释及参考来源
- Carl Friedrich Gauss tr. Arthur A. Clarke: Disquisitiones Aritmeticae, Yale University Press, 1965 ISBN 0-300-09473-6
- [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN235993352 Disquisitiones Arithmeticae]
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