取整函数

在数学和计算机科学中，取整函数是一类将实数映射到相近的整数的函数。

常用的取整函数有两个，分别是下取整函数（）和上取整函数（）。

下取整函数即為取底符號，在数学中一般记作[ x ]或者\lfloor x \rfloor或者E(x)，在计算机科学中一般记作floor(x)，表示不超过x的整数中最大的一个。
: [ x ]=\max\, \{n\in\mathbb{Z}\mid n\le x\}.

举例来说，[ 3.633 ] = 3，[ 56 ] = 56，[ -2 ] = -2，[ -2.263 ] = -3。对于非负的实数，其下取整函数的值一般叫做它的整数部分或取整部分。而x -[ x]叫做x的小数部分。每个分数都可以表示成其整数部分与一个真分数的和，而实数的整数部分和小数部分是与此概念相应的拓延。

下取整函数的符号用方括号表示（[x]），称作高斯符号，首次出現是在卡爾·弗里德里希·高斯的數學著作《算术研究》。

上取整函数即為取頂符號在数学中一般记作\lceil x \rceil，在计算机科学中一般记作ceil(x)，表示不小于x的整数中最小的一个。
: \lceil x \rceil=\min\{n\in\mathbb{Z}\mid x\le n\}.

举例来说，\lceil 3.633 \rceil = 4，\lceil 56 \rceil = 56，\lceil -2 \rceil = -2，\lceil -2.263 \rceil = -2。

计算机中的上取整函数和下取整函数的命名来自于英文的ceiling（天花板）和floor（地板），1962年由肯尼斯·艾佛森于《A Programming Language》引入。

性质
对于高斯符號，有如下性质。
*按定义：
*: [ x] \le x ; 当且仅当 x 为整数时取等号。

• 设 x 和 n 为正整数，则：

*: \left[ \frac{n}{x} \right] \geq \frac{n}{x} - \frac{x-1}{x}

• 当 n 为正整数时，有：

*: \left[ \frac{x}{n} \right] = \frac{x-x\bmod n}{n}, 其中 x \bmod n 表示 x 除以 n 的餘數。

• 对任意的整数 k 和任意实数 x，

*: [ {k+x} ] = k + [ x].
*一般的數值修約規則可以表述为将 x 映射到 \left[ x + 0.5 \right]；

• 高斯符號不是连续函数，但是上半连续的。作为一个分段的常数函数，在其导数有定义的地方，高斯符號导数为零。
• 设 x 为一个实数，n 为整数，则由定义，n \leq x 当且仅当 n \leq \left[ x\right] 。
• 當 x 是正數時，有：

*:\left[ 2 x \right] - 2 \left[ x \right] \leqslant 1

• 用高斯符號可以写出若干个素数公式，但没有什么实际价值，見。
• 对于非整数的 x，高斯符號有如下的傅里叶级数展开：

*:[ x] = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}.

• 根据Beatty定理，每个正无理数都可以通过高斯符號制造出一个整数集的分划。
• 最后，对于每个正整数 k，其在 p 进制下的表示有 [ \log_{p}(k) ] + 1 个数位。

函數間之關係
由上下取整函數的定義，可見
:\lfloor x \rfloor \le \lceil x \rceil,
等號當且僅當x為整數，即
:\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = \begin{cases}
0,&\text{ 若 }\ x\in \mathbb{Z},\\
1,&\text{ 若 }\ x\not\in \mathbb{Z}.
\end{cases}

實際上，上取整與下取整函數作用於整數n，效果等同恆等函數：
:\lfloor n \rfloor = \lceil n \rceil = n.

自變量加負號，相當於將上取整與下取整互換，外面再加負號，即：
: \begin{align}
\lfloor x \rfloor +\lceil -x \rceil &= 0, \\
-\lfloor x \rfloor &= \lceil -x \rceil, \\
-\lceil x \rceil &= \lfloor -x \rfloor.
\end{align}

且：
:\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = \begin{cases}
0,&\text{ 若 }\ x\in \mathbb{Z},\\
-1,&\text{ 若 }\ x\not\in \mathbb{Z},
\end{cases}

:\lceil x \rceil + \lceil -x \rceil = \begin{cases}
0,&\text{ 若 }\ x\in \mathbb{Z},\\
1,&\text{ 若 }\ x\not\in \mathbb{Z}.
\end{cases}

至於小數部分\{x \} = x - \lfloor x \rfloor，自變量取相反數會使小數部分變成關於1的「補數」：

:\{ x \} + \{ -x \} = \begin{cases}
0,&\text{ 若 }\ x\in \mathbb{Z},\\
1,&\text{ 若 }\ x\not\in \mathbb{Z}.
\end{cases}

上取整、下取整、小數部分皆為冪等函數，即函數疊代兩次的結果等於自身：

:
\begin{align}
\Big\lfloor \lfloor x \rfloor \Big\rfloor &= \lfloor x \rfloor, \\
\Big\lceil \lceil x \rceil \Big\rceil &= \lceil x \rceil, \\
\Big\{ \{ x \} \Big\} &= \{ x \}.
\end{align}

而多個上取整與下取整依次疊代的效果，相當於最內層一個：
:
\begin{align}
\Big\lfloor \lceil x \rceil \Big\rfloor &= \lceil x \rceil, \\
\Big\lceil \lfloor x \rfloor \Big\rceil &= \lfloor x \rfloor,
\end{align}

因為外層取整函數實際衹作用在整數上，不帶來變化。

商
若m和n為正整數，且n \neq 0，則
:0 \le \left \{\frac{m}{n} \right\} \le 1-\frac{1}.

若n為正整數，則
:\left\lfloor\frac{x+m}{n}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{\lfloor x\rfloor +m}{n}\right\rfloor,

:\left\lceil\frac{x+m}{n}\right\rceil = \left\lceil\frac{\lceil x\rceil +m}{n}\right\rceil.

若m為正數，則

:n=\left\lceil\frac{n}{m}\right\rceil + \left\lceil\frac{n-1}{m}\right\rceil +\dots+\left\lceil\frac{n-m+1}{m}\right\rceil,

:n=\left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n+1}{m}\right\rfloor +\dots+\left\lfloor\frac{n+m-1}{m}\right\rfloor.

代m = 2，上式推出：

:n= \left\lfloor \frac{n}{2}\right \rfloor + \left\lceil\frac{n}{2}\right \rceil.

更一般地，對正整數m，有：

:\lceil mx \rceil =\left\lceil x\right\rceil + \left\lceil x-\frac{1}{m}\right\rceil +\dots+\left\lceil x-\frac{m-1}{m}\right\rceil,

:\lfloor mx \rfloor=\left\lfloor x\right\rfloor + \left\lfloor x+\frac{1}{m}\right\rfloor +\dots+\left\lfloor x+\frac{m-1}{m}\right\rfloor.

對於正整數m，以下兩式可將上下取整函數互相轉化：

:\left\lceil \frac{n}{m} \right\rceil = \left\lfloor \frac{n+m-1}{m} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{n - 1}{m} \right\rfloor + 1,

:\left\lfloor \frac{n}{m} \right\rfloor = \left\lceil \frac{n-m+1}{m} \right\rceil = \left\lceil \frac{n + 1}{m} \right\rceil - 1.

對任意正整數m和n，有：

:\sum_{k = 1}^{n - 1} \left\lfloor \frac{k m}{n} \right\rfloor = \frac{(m - 1)(n - 1)+\gcd(m,n)-1}2,

作為特例，當m和n互質時，上式簡化為

:\sum_{k=1}^{n-1} \left\lfloor \frac{km}{n} \right\rfloor = \frac{1}{2}(m - 1)(n - 1).

此等式可以幾何方式證明。又由於右式關於m、n對稱，可得

:\left\lfloor \frac{m}{n} \right \rfloor + \left\lfloor \frac{2m}{n} \right \rfloor + \dots + \left\lfloor \frac{(n-1)m}{n} \right \rfloor =
\left\lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor + \left\lfloor \frac{2n}{m} \right \rfloor + \dots + \left\lfloor \frac{(m-1)n}{m} \right \rfloor.

更一般地，對正整數m, n，有

:\begin{align}
&\left\lfloor \frac{x}{n} \right \rfloor +
\left\lfloor \frac{m+x}{n} \right \rfloor +
\left\lfloor \frac{2m+x}{n} \right \rfloor +
\dots +
\left\lfloor \frac{(n-1)m+x}{n} \right \rfloor\\=
&\left\lfloor \frac{x}{m} \right \rfloor +
\left\lfloor \frac{n+x}{m} \right \rfloor +
\left\lfloor \frac{2n+x}{m} \right \rfloor +
\cdots +
\left\lfloor \frac{(m-1)n+x}{m} \right \rfloor.
\end{align}

上式算是一種「互反律」（），與有關。

應用
二次互反律
高斯給出二次互反律的第三個證明，經艾森斯坦修改後，有以下兩個主要步驟。

設p、q為互異奇質數，又設
:m = \frac{p - 1}{2}, n = \frac{q - 1}{2}.

首先，利用高斯引理，證明勒让德符号可表示為和式：

:\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\left\lfloor\frac{q}{p}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{2q}{p}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor\frac{mq}{p}\right\rfloor },

同樣
:\left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^{\left\lfloor\frac{p}{q}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{2p}{q}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor\frac{np}{q}\right\rfloor }.

其後，採用幾何論證，證明
:\left\lfloor\frac{q}{p}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{2q}{p}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor\frac{mq}{p}\right\rfloor

+\left\lfloor\frac{p}{q}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{2p}{q}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor\frac{np}{q}\right\rfloor

= mn.

總結上述兩步，得

:\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{mn}=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}.

此即二次互反律。一些小整數模奇質數p的二次特徵標，可以高斯符號表示，如：
:\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\left\lfloor\frac{p+1}{4}\right\rfloor},

:\left(\frac{3}{p}\right) = (-1)^{\left\lfloor\frac{p+1}{6}\right\rfloor}.

質數公式
下取整函數出現於若干刻畫質數的公式之中。舉例，因為\left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n-1}{m}\right\rfloor在m整除n時等於1，否則為0，所以正整數n為質數当且仅当

:\sum_{m=1}^{\infty}\left(\left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n-1}{m}\right\rfloor\right) = 2.

除表示質數的條件外，還可以寫出公式使其取值為質數。例如，記第n個質數為p_n，任選一個整數r > 1，然後定義實數\alpha為

:\alpha = \sum_{m=1}^\infty p_m r^{-m^2}.

則衹用取整、冪、四則運算可以寫出質數公式：

:p_n = \left\lfloor r^{n^2}\alpha \right\rfloor - r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^2}\alpha\right\rfloor.

類似還有米尔斯常数\theta = 1.3064\ldots，使

:\left\lfloor \theta^3 \right\rfloor, \left\lfloor \theta^9 \right\rfloor, \left\lfloor \theta^{27} \right\rfloor, \dots

皆為質數。

若不疊代三次方函數，改為疊代以2為㡳的指數函數，亦有\omega = 1.9287800\ldots使

:\left\lfloor 2^\omega\right\rfloor, \left\lfloor 2^{2^\omega} \right\rfloor, \left\lfloor 2^{2^{2^\omega}} \right\rfloor, \dots

皆為質數。

其它等式

• 对于所有实数x，有：

: \left\lfloor \frac{x}{2} \right\rfloor = \frac{1}{4} ((-1)^{\lfloor x \rfloor}-1 + 2 \lfloor x \rfloor )
: \left\lfloor \frac{x}{3} \right\rfloor = \frac{1}{3} (\frac{2}{\sqrt{3}} \sin(\frac{2\pi}{3}\lfloor x \rfloor + \frac{\pi}{3}) - 1 + \lfloor x \rfloor )

参考来源
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另见
截尾函數