吾鄉-朱加猜想

與數論中與伯努利數B_k有關的的吾鄉—朱加猜想猜測：p是質數當且僅當下式成立：

:pB_{p-1} \equiv -1 \pmod p\ 。

等價敘述
這猜想的上述形式是吾鄉孝視在1990年提出的；另一個等價的形式是朱塞佩·朱加（Giuseppe Giuga）在1950年提出的：

p是質數當且僅當以下等式成立：

:1^{p-1}+2^{p-1}+ \cdots +(p-1)^{p-1} \equiv -1 \pmod p。

以總和符號，可將之表記為

:\sum_{i=1}^{p-1} i^{p-1} \equiv -1 \pmod p.

易見是質數這點是一個充分條件，這是因為若是質數，則根據費馬小定理，對於a = 1,2,\dots,p-1而言，以下等式成立：

:a^{p-1} \equiv 1 \pmod p

而由於p-1 \equiv -1 \pmod p之故，因此這等價敘述成立。

現狀
Giuga指出，若這猜想有反例，也就是若有合數滿足上述等式的話，那麼這樣的會同時是一個卡邁克爾數以及朱加數，且可被至少8個不同的素數因子整除。

• Giuga驗證了此猜想，並指出若此猜想有反例，則對最小的可能反例而言，必有n > 10^{1000}。
• 1985年時，的計算指出，若此猜想有反例，則對最小的可能反例而言，必有n > 10^{1700}。
• 1996年時，Borwein的計算指出，若此猜想有反例，則對最小的可能反例而言，必有n > 10^{13800}。
• 而在2001年的工作中表明，若此猜想有反例，則對最小的可能反例而言，必有n > 10^{36067}，這是Bedocchi所指出的、Giuga對自己的猜想所用的技巧所能達致的極限。

與威爾遜定理的關係
吾鄉—朱加猜想和已證明為真的威爾遜定理有類似性。威爾遜定理指出，是質數當且僅當以下等式成立：

:(p-1)! \equiv -1 \pmod p,

而這等式可寫成

:\prod_{i=1}^{p-1} i \equiv -1 \pmod p

此外對奇質數有

:\prod_{i=1}^{p-1} i^{p-1} \equiv (-1)^{p-1} \equiv 1 \pmod p

而當p=2時則有

:\prod_{i=1}^{p-1} i^{p-1} \equiv (-1)^{p-1} \equiv 1 \pmod p.

因此在吾鄉—朱加猜想為真的狀況下，吾鄉—朱加猜想跟威爾遜定理合起來表示說，是質數當且僅當以下兩個等式皆成立：
:\sum_{i=1}^{p-1} i^{p-1} \equiv -1 \pmod p
:\prod_{i=1}^{p-1} i^{p-1} \equiv 1 \pmod p.

參考資料

• Agoh T. "On Giuga's conjecture" Manuscripta Math., 87(4), 501-510 (1995).
• Bedocchi E. "Nota ad una congettura sui numeri primi", Riv. Mat. Univ. Parma, (4) 11 (1985), 229-236.
• Borwein D., Borwein J. M., Borwein P. B., and Girgensohn R. "Giuga's Conjecture on Primality", Amer. Math. Monthly, 103, 40-50, (1996). [https://web.archive.org/web/20050531164907/http://www.math.uwo.ca/~dborwein/cv/giuga.pdf pdf]
• Borwein J.M., Skerritt M. and Maitland C. "Computation of a lower bound to Giuga's primality conjecture." Integers 13 (2013).
• Giuga G. "Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi", Ist. Lombardo Sci. Lett. Rend. A, 83, 511-528 (1950).
• Sorini L. "Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga", Facoltà di Economia, Università degli Studi di Urbino Carlo Bo, Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, n. 68, Ottobre (2001) ISSN 1720-9668.