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Abc猜想

Wikipedia · 2026-07-31 维基百科 👁 0 阅读

abc猜想（）是一個未解決的數學猜想，最先由約瑟夫·奧斯特莱及大衛·馬瑟在1985年提出。abc猜想以三個互質正整數a, b, c描述，c是a及b的和，猜想因此得名。京都大學數理解析研究所望月新一教授於2012年提出論文證明，經過8年同行審查後於2020年4月发表，但对于该证明的正确性仍存在极大争议。对此也衍生出一BOINC項目「ABC@Home」。

abc猜想若得證，數論中很多著名猜想可以立時得出。多利安·哥德費爾德稱abc猜想為「丟番圖分析中最重要的未解問題」。

內容
對正整數n，\operatorname{rad}(n)表示n的質因數的積，稱為n的根基（）。例如
:\operatorname{rad}(16) = \operatorname{rad}\left(2^4\right) = 2，
:\operatorname{rad}(17) = 17，
:\operatorname{rad}(18) = \operatorname{rad}\left(2 \cdot 3^2\right) = 2 \cdot 3 = 6，
:\operatorname{rad}(1000000) = \operatorname{rad}\left(2^6 \cdot 5^6\right) = 2 \cdot 5 = 10，

若正整數a, b, c 彼此互質，且a + b=c，「通常」會有c (a, b, c) = (2, 7, 9)：\operatorname{rad}(abc) = 42 > 9 = c。
:(a, b, c) = (9, 16, 25)：\operatorname{rad}(abc) = 30 > 25 = c。

但是也有反例，例如：
:a = 3, b = 125, c = 128：因為125=5^{3}，128=2^{7}，故此\operatorname{rad}(abc) = 30 。
如上有多於一個整數可被小的質數的高次冪整除，使rad(abc) \varepsilon >0，只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，使得
:: c > \operatorname{rad}(abc)^{1+\epsilon}

abc猜想也有以下等價的表述方式：

abc猜想（二）
:對於任何\varepsilon >0，存在常數C_{\varepsilon}>0，使得對於互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，有：
:: c

abc猜想第三個表述方式，用到了三元組(a, b, c)的品質（quality），定義為：
:q(a,b,c)=\frac{\log(c)}{\log(\operatorname{rad}(abc))}
例如：
*q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...
*q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...
一般的互質正整數的三元組，通常有 rad(abc) > c，因此q(a, b, c) \varepsilon > 0，只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，使得
:: q(a,b,c) > 1+\epsilon

abc猜想中的ε不能去掉，不然命題就不成立。考慮以下例子：
:a_n = 3^{2^n} -1, b_n = 1, c_n = 3^{2^n}
這三個正整數互質，且有a_n+b_n=c_n。注意到a_n可被2^{n+2}整除，因此有
:\operatorname{rad}(a_n b_n c_n) \le 3 \cdot 2 \cdot \frac {a_n}{2^{n+2}}= \frac {3 a_n}{2^{n+1}}:
因此
:c_n > a_n \ge \frac {2^{n+1}}{3} \operatorname{rad}(a_n b_n c_n)
當n趨向無限大時，\frac {2^{n+1}}{3}也趨向無限大。因此不存在常數C，使得 c d*)沒有西格尔零点（需要abc猜想在代數數域上的一致形式，不只在有理整數上。）

  • 對有至少3個簡單零點的多項式P(x)，在整數x取的所有值中，只有有限個次方數。
  • 的推廣形式，關於ym = xn + k的解的個數（定理是k=1的情形），及Pillai猜想，關於Aym = Bxn + k的解的個數。
  • 等價於Granville–Langevin 猜想
  • 等價於修改後的
  • 布羅卡問題n! + A= k2，對任何給定的整數A，都只有有限個解。

理論結果
abc猜想導出c有abc的根基的接近線性函數的上界；不過，現在已知的是指數上界。確切結果如下：

:c ,
:c ,
:c .

上述的上界中，K1是不依賴a, b, c的常數，而K2和K3是（以可有效計算的方式）依賴於ε的常數，但不依賴於a, b, c。上述的上界對c > 2的三元組都成立。

計算結果
2006年，荷蘭的萊頓大學數學系與Kennislink科學研究所合作，開展ABC@Home計劃。這個計劃是網格計算系統，目的在找出更多的正整數三元組a, b, c使得rad(abc) < c。雖然有無限個例子或反例不能解決abc猜想，但是期望藉著這個計劃發現的三元組的模式，可以得出對這個猜想以至於數論的新的洞見。

下述的q是上節定義的品質。

，ABC@Home找出 2380 萬個三元組，現今目標在找出c不大於263的所有三元組(a,b,c)。

歷史
1996年，艾倫·貝克（Alan Baker）提出一個較為精確的猜想，將\operatorname{rad}(abc)用\varepsilon^{-\omega}\operatorname{rad}(abc)取代，在此\omega是a, b, c的不同質因數的數目。

2007年，呂西安·施皮羅嘗試給出證明，後來被發現有錯誤。

2012年8月，日本京都大學數學家望月新一發表長約五百頁的abc猜想的證明，以他建立的宇宙際泰赫米勒理論（inter-universal Teichmüller theory）為基礎。該證明目前正由其他數學專家檢查中。当Vesselin Dimitrov和阿克沙伊·文卡泰什在2012年10月发现一处错误时，望月新一在他的网站确认了此错误，并声称这个错误能够在近期修补，不会影响最后的结果。2012年12月，望月新一在自己主页贴出了自己对所有四篇文章的修改稿。主要包含27条重要的修改。2012年12月-2013年2月，他又屡次对文章进行了修订，新修正了18处错误，當中很多也是打字错误。望月新一在網上公開了2013年以及2014年的檢驗進度報告。2018年8月，皮特·舒爾策和指出，望月新一的證明論文中 Corollary 3.12 證明結尾的一行推理存在無法修復的缺陷。望月認為二者的批評存在“某種根本上的誤解”。

參見
*根基
*Mason-Stothers定理—多項式環上的對應定理

参考文献
引用
来源
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外部連結

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#数论 #猜想

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