赫尔维茨ζ函数（Hurwitz zeta function）定义如下
:\zeta(s,q) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(q+n)^{s}}.
其中q、s都是复数，并且有Re(q)>0,Re(s)>0
对于给定的q,s,此函数可以扩展到 s≠1的亚纯函数.
黎曼ζ函数=\zeta(s,1)
级数展开
赫尔维茨ζ函数可以展开成级数：:
:\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1}
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1}
\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (q+k)^{1-s}.
此级数在S空间的紧空间子集中均匀收敛成为一个整函数。
积分式
赫尔维茨ζ函数可以表示为下列梅林变换
:\zeta(s,q)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty
\frac{t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}dt
其中 \Re s>1 及\Re q >0.
赫尔维茨公式
:\zeta(1-s,x)=\frac{1}{2s}\left[e^{-i\pi s/2}\beta(x;s) + e^{i\pi s/2} \beta(1-x;s) \right]
其中
:\beta(x;s)=
2\Gamma(s+1)\sum_{n=1}^\infty \frac {\exp(2\pi inx) } {(2\pi n)^s}=
\frac{2\Gamma(s+1)}{(2\pi)^s} \mbox{Li}_s (e^{2\pi ix})
对于 0\le x\le 1 and s > 1成立，其中 \text{Li}_s (z)代表 多重对数.
泰勒展开
赫尔维茨ζ函数的导数是平移：
:\frac {\partial} {\partial q} \zeta (s,q) = -s\zeta(s+1,q).
因此赫尔维茨ζ函数的泰勒级数可表示为:
:\zeta(s,x+y) = \sum_{k=0}^\infty \frac {y^k} {k!}
\frac {\partial^k} {\partial x^k} \zeta (s,x) =
\sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose s-1} (-y)^k \zeta (s+k,x).
或
:\zeta(s, q) = \frac{1}{q^s} + \sum_{n=0}^{\infty} (-q)^n {s + n - 1 \choose n} \zeta(s + n),
其中 |q| .
与Θ函數的关系
令\vartheta (z,\tau) 代表 雅可比 Θ函數, 则
:\int_0^\infty \left[\vartheta (z,it) -1 \right] t^{s/2} \frac{dt}{t}=
\pi^{-(1-s)/2} \Gamma \left( \frac {1-s}{2} \right)
\left[ \zeta(1-s,z) + \zeta(1-s,1-z) \right]
对于 \Re s > 0 and 复数z 成立，但对于 z=n 整数，则有
:\int_0^\infty \left[\vartheta (n,it) -1 \right] t^{s/2} \frac{dt}{t}=
2\ \pi^{-(1-s)/2} \ \Gamma \left( \frac {1-s}{2} \right) \zeta(1-s)
=2\ \pi^{-s/2} \ \Gamma \left( \frac {s}{2} \right) \zeta(s).
其中 ζ 代表黎曼ζ函数.
推广
正整数m的赫尔维茨ζ函数与 多伽玛函数有下列关系:
:\psi^{(m)}(z)= (-1)^{m+1} m! \zeta (m+1,z) \ .
For negative integer −n the values are related to the Bernoulli polynomials:
:\zeta(-n,x) = - \frac{B_{n+1}(x)}{n+1} \ .
The 巴恩斯ζ函数是赫尔维茨ζ函数的推广。
The 勒奇超越函数也是赫尔维茨ζ函数的推广:
:\Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty
\frac { z^k} {(k+q)^s}
即：
:\zeta (s,q)=\Phi(1, s, q).\,
赫尔维茨ζ函数与超几何函数的关系：
:\zeta(s,a)=a^{-s}\cdot{}_{s+1}F_s(1,a_1,a_2,\ldots a_s;a_1+1,a_2+1,\ldots a_s+1;1)其中 a_1=a_2=\ldots=a_s=a\text{ and }a\notin\N\text{ and }s\in\N^+.
Meijer G函数
:\zeta(s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1 \; \left| \; \begin{matrix}0,1-a,\ldots,1-a\\0,-a,\ldots,-a\end{matrix}\right)\right.\qquad\qquad s\in\N^+.
参考文献
延伸阅读
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