在数学中，黎曼-西格尔公式是黎曼ζ函數的近似函数方程误差的渐近公式，前者是ζ函數的近似值，由两个有限狄利克雷级数的和来近似。在波恩哈德·黎曼1850年代一篇未发表的手稿中发现这个公式。西格尔从黎曼-西格尔积分公式中推导出它，这是一个涉及ζ函数围道积分的表达式。该公式通常用于计算黎曼-西格尔公式的值，与欧德里兹科-肖恩哈格算法相结合，可以大大加快算法的速度。当沿着临界线使用时，通常将其变换为关于Z函数的公式比较有用。
如果M和N是非负整数，那么ζ函数等于
:\zeta(s) = \sum_{n=1}^N\frac{1}{n^s} + \gamma(1-s)\sum_{n=1}^M\frac{1}{n^{1-s}} + R(s)
其中
:\gamma(s) = \pi^{\tfrac{1}{2}-s} \frac{\Gamma \left (\tfrac{s}{2} \right)}{\Gamma \left(\tfrac{1}{2}(1-s)\right)}
是函数方程中出现的因数，且
:R(s) = \frac{-\Gamma(1-s)}{2\pi i}\int \frac{(-x)^{s-1}e^{-Nx}}{e^x-1}dx
是一个围道积分，围道的起点和终点在+∞处，并最多绕绝对值奇点圈。近似函数方程给出了误差项大小的估计。和通过将最速下降法应用于该积分，推导出黎曼-西格尔公式，将误差项R(s)渐近展开为Im(s)的负幂次级数。在应用中，s通常位于临界线上，并且选择正整数M和N约为。发现了一个黎曼-西格尔公式误差的较好界限。
黎曼积分公式
黎曼证明了
:\int_{0 \searrow 1} \frac{e^{-i\pi u^2+2\pi i pu}}{e^{\pi i u}-e^{-\pi i u}} du = \frac{e^{i\pi p^2}-e^{i\pi p}}{e^{i\pi p} - e^{-i \pi p}}
积分围道是一条斜率为-1的线，通过0和1之间。
他用此给出了以下ζ函数的积分公式：
:\pi^{-\tfrac{s}{2}}\Gamma\left (\tfrac{s}{2} \right)\zeta(s)= \pi^{-\tfrac{s}{2}}\Gamma \left (\tfrac{s}{2} \right) \int_{0\swarrow 1}\frac{x^{-s}e^{\pi i x^2}}{e^{\pi i x}-e^{-\pi i x}}\,dx +\pi^{-\frac{1-s}{2}}\Gamma \left (\tfrac{1-s}{2} \right)\int_{0\searrow 1}\frac{x^{s-1}e^{-\pi i x^2}}{e^{\pi i x}-e^{-\pi i x}}\,dx
参考
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- Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.
外部链接
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