艾里ζ函數

艾里ζ函數（）是由所研究，是類似黎曼ζ函數的函數，和艾里函数的零點有關。

定義
艾里函数
:\mathrm{Ai}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \cos\left(\tfrac13t^3 + xt\right)\, dt,
在x為正時其值為正，但在負值時會震盪。艾里零點就是使\text{Ai}(a_i) = 0的點，會依其大小排序：|a_1| .

艾里ζ函數是和艾里零點有關的級數：
:\zeta_{\mathrm{Ai}}(s)=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{|a_i|^s}.
此級數在s的實部大於3/2時收斂，可以用解析延拓拓展到其他的s值。

其在整數下的值
艾里ζ函數和黎曼ζ函數有類似的特性，黎曼ζ函數的值\zeta(2)=\pi^2/6是巴塞尔问题的解。

而艾里ζ函數在s = 2的值可以準確計算：
:\zeta_{\mathrm{Ai}}(2)=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{a_i^2}=\frac{3^{5/3}\Gamma^4(\frac23)}{4\pi^2},
其中\Gamma是Γ函数。

針對較大的整數，也可以進行類似的計算。

目前猜想，艾里ζ函數在s = 1的解析延拓如下：
:\zeta_{\mathrm{Ai}}(1)=-\frac{\Gamma(\frac23)}{\Gamma(\frac43)\sqrt[3]{9}}.

參考資料
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外部連結
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