黎曼积分

在实分析中，由黎曼创立的黎曼积分（）首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼－斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。

概念
与坐标轴所夹面积的黎曼积分]]

讓函數 f 為定義在區間 [a,b] 的非負函數，我们想要計算 f(x)所代表的曲线与 x坐标轴跟兩條垂直線 x=a 跟 x=b 所夹图形的面积（既右圖區域 S 的面積），可將區域 S 的面積以下面符號表示：

:\int_{a}^{b} f(x)\,dx.

黎曼積分的基本概念就是對 x-軸的分割越來越細，則其所對應的矩形面積和也會越來越趨近圖形 S 的面積（參考右方第二張圖）。同时請注意，如函數為負函數， f:[a,b]\mapsto \R_{，则其面积亦為负值。

定义
区间的分割
一个闭区间[a,b]的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列a = x_0 。(由a至b內的所有x)

每个闭区间[x_i, x_{i+1}]叫做一个子区间。定义\lambda 为这些子区间长度的最大值：\lambda = \max (x_{i+1}-x_i)，其中0 \le i \le n - 1 。

再定义取样分割。一个闭区间[a,b]的一个取样分割是指在进行分割a = x_0 后，于每一个子区间中[x_i, x_{i+1}]取出一点x_i \le t_i \le x_{i+1}。\lambda 的定义同上。

精细化分割：设x_0,\ldots,x_n以及t_0,\ldots,t_{n-1}构成了闭区间[a,b]的一个取样分割，y_0,\ldots,y_m和s_0,\ldots,s_{m-1}是另一个分割。如果对于任意0 \le i \le n，都存在r(i)使得x_i = y_{r(i)}，并存在r(i) \le j 使得t_i = s_j，那么就把分割：y_0,\ldots,y_m、s_0,\ldots,s_{m-1}称作分割x_0,\ldots,x_n、t_0,\ldots,t_{n-1}的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。

黎曼和
对一个在闭区间[a,b]有定义的实值函数f，f关于取样分割x_0,\ldots,x_n、t_0,\ldots,t_{n-1}的黎曼和（积分和）定义为以下和式：

:\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i)

和式中的每一项是子区间长度x_{i+1}-x_i与在t_i处的函数值f(t_i)的乘积。直观地说，就是以标记点t_i到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。

黎曼积分
不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对“越来越‘精细’”作出严格的定义。

要使得“越来越‘精细’”有效，需要把\lambda 趋于0。如此[x_i, x_{i+1}]中的函数值才会与f(t_i)接近，矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。

严格定义如下：S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的\epsilon > 0，都存在\delta > 0，使得对于任意的取样分割x_0,\ldots,x_n、t_0,\ldots,t_{n-1}，只要它的子区间长度最大值\lambda \le \delta ，就有：

:\left|\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i) - S \right|

也就是说，对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数f为黎曼可积的。

这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有\lambda \le \delta 的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义，然后证明它们是等价的。

另一个定义: S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的\epsilon > 0，都存在一个取样分割x_0,\ldots,x_n、t_0,\ldots,t_{n-1}，使得对于任何比其“精细”的分割y_0,\ldots,y_m and s_0,\ldots,s_{m-1}，都有：

:\left|\sum_{i=0}^{m-1} f(s_i) (y_{i+1}-y_i) - S \right|

这两个定义是等价的。如果有一个S满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个S满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值\lambda \le \delta 的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于\delta，于是满足
:\left|\sum_{i=0}^{m-1} f(s_i) (y_{i+1}-y_i) - S \right|

其次证明满足第二个定义的S也满足第一个定义。首先引进达布积分的概念，第二个定义和达布积分的定义是等价的，具体见达布积分。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割x_0,\ldots,x_n使得它的上达布和与下达布和都与S相差不超过\frac{\epsilon}{2}。令r等于\max_{0 \le i \le n-1} (M_i-m_i)，其中M_i和m_i是f在[x_i,x_{i+1}]上的上确界和下确界。再令\delta是\frac{\epsilon}{2rn}和\min_{0 \le i \le n-1} (x_{i+1}-x_i) 中的较小者。可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于\delta时，f关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差\frac{\epsilon}{2}，所以和S至多相差\epsilon。

由于以上原因，黎曼积分通常被定义为达布积分（即第二个定义），因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。

黎曼积分的性质
*线性性：黎曼积分是线性变换，也就是说，如果f和g在区间[a,b]上黎曼可积，\alpha和\beta是常数，则：

: \int_{a}^{b}( \alpha f + \beta g)\,dx = \alpha \int_{a}^{b}f(x)\,dx + \beta \int_{a}^{b}g(x)\,dx.

由于一个函数的黎曼积分是一个实数，因此在固定了一个区间[a,b]后，将一个黎曼可积的函数设到其黎曼积分的映射I: f \longrightarrow \int_{a}^{b} f dx是所有黎曼可积的函数空间上的一个线性泛函。

*正定性：如果函数f在区间[a,b]上几乎处处（勒贝格测度意义上）大于等于0，那么它在[a,b]上的积分也大于等于零。如果f在区间[a,b]上几乎处处大于等于0，并且它在[a,b]上的积分等于0，那么f几乎处处为0。

*可加性：如果函数f在区间[a,c]和[c,b]上都可积，那么f在区间[a,b]上也可积，并且有
: \int_{a}^{b} f dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx
无论a、b、c之间的大小关系如何，以上关系式都成立。

*[a,b]上的实函数f是黎曼可积的，当且仅当它是有界和几乎处处连续的。

*如果[a,b]上的实函数是黎曼可积的，则它是勒贝格可积的。

*如果{f_n}是[a,b]上的一个一致收敛序列，其极限为f，那么：

: \int_{a}^{b} f\, dx = \int_a^b{\lim_{n \to \infty}{f_n}\, dx} = \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n\, dx.

*如果一个实函数在区间[a,b],上是单调的，则它是黎曼可积的。

黎曼积分的推广
黎曼积分可推广到值属于n维空间\mathbb{R}^n的函数。积分是线性定义的，即如果\mathbf{f} = (f_1, \dots, f_n)，则\int\mathbf{f} = (\int f_1,\,\dots, \int f_n)。特别地，由于复数是实数向量空间，故值为复数的函数也可定义积分。

黎曼积分只定义在有界区间上，扩展到无界区间并不方便。可能最简单的扩展是通过极限来定义积分，即如同反常积分（improper integral）一样。我们可以令

:\int_{-\infty}^\infty f(t)\,dt = \lim_{x\to\infty}\int_{-x}^x f(t)\,dt.

不幸的是，这并不是很合适。平移不变性（如果把一个函数向左或向右平移，它的黎曼积分应该保持不变）丧失了。例如，令f(x) = 1若x > 0，f(0)=0，f(x)=-1若x。则对所有x

:\int_{-x}^x f(t)\,dt = \int_{-x}^0 f(t)\,dt + \int_0^x f(t)\,dt = -x + x = 0.

但如果我们将f(x)向右平移一个单位得到f(x-1)，则对所有x > 1，我们得到

:\int_{-x}^x f(t-1)\,dt = \int_{-x}^1 f(t-1)\,dt + \int_1^x f(t-1)\,dt = -(x+1) + (x-1)
= -2.

由于这是不可接受的，我们可以尝试定义：

:\int_{-\infty}^\infty f(t)\,dt = \lim_{a\to-\infty}\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(t)\,dt.

此时，如果尝试对上面的f积分，我们得到+\infty，因为我们先使用了极限b\to\infty。如果使用相反的极限顺序，我们得到-\infty。

这同样也是不可接受的，我们要求积分存在且与积分顺序无关。即使这满足，依然不是我们想要的，因为黎曼积分与一致极限不再具有可交换性。例如，令f_n(x)=1/n在[0,n]上，其它域上等于0。对所有n，\int f_n\,dx = 1。但f_n一致收敛于0，因此\lim f_n的积分是0。因此\int f\,dx \not= \lim\int f_n\,dx。即使这是正确的值，可看出对于极限与普通积分可交换的重要准则对反常积分不适用。这限制了黎曼积分的应用。

一个更好的途径是抛弃黎曼积分而采用勒贝格积分。虽然勒贝格积分是黎曼积分的扩展这点看上去并不是显而易见，但不难证明每个黎曼可积函数都是勒贝格可积的，并且当二者都有定义时积分值也是一致的。

事实上黎曼积分的一个直接扩展是Henstock–Kurzweil积分。

扩展黎曼积分的另一种途径是替换黎曼累加定义中的因子x_i - x_{i+1}，粗略地说，这给出另一种意义上长度间距的积分。这是黎曼-斯蒂尔切斯积分所采用的方法。

相关条目
*不定积分
*积分
*勒贝格积分
*黎曼－斯蒂尔杰斯积分
*數值積分
*达布积分
*梯形公式

参考文献

• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0486635198.