度量张量

度量張量（英語：Metric tensor）在黎曼幾何裡面又叫黎曼度量，物理学译为度規張量，是指一用來衡量度量空间中距離，面積及角度的二階張量。

内容
當选定一個局部坐標系統x^i，度量張量為二階張量一般表示為 \textstyle \mathrm{d}s^2=\sum_{ij}g_{ij}\mathrm{d}x^i \mathrm{d}x^j，也可以用矩陣 (g_{ij}) 表示，記作為G或g。而 g_{ij} 記號傳統地表示度量張量的協變分量（亦為「矩陣元素」）。

a 到 b 的弧線長度定义如下，其中参数定為t，t由a到b:

:L = \int_a^b \sqrt{ \sum_{ij}g_{ij}{\mathrm{d}x^i\over \mathrm{d}t}{\mathrm{d}x^j\over \mathrm{d}t}}\mathrm{d}t

兩個切向量的夾角 \theta ,設向量 \textstyle U=\sum_i u^i{\partial\over \partial x_i} 和 \textstyle V=\sum_i v^i{\partial\over \partial x_i}，定義為：

:
\cos \theta =\frac{\langle u, v\rangle}= \frac{\sum_{ij}g_{ij}u^iv^j}
{\sqrt{ \left| \sum_{ij}g_{ij}u^iu^j \right| \left| \sum_{ij}g_{ij}v^iv^j \right|}}

若 f 為\mathbb{R}^n 到 \mathbb{R}^n 的局部微分同胚，其誘導出的度量張量的矩陣形式 G，由以下方程式計算得出：

:G = J^T J

J 表示 f 的雅可比矩阵，它的轉置为 J^T 。著名例子有 \mathbb{R}^2 之間從極座標系 (r,\theta) 到直角座標 (x,y) 的座標變換，在這例子裡有：
:x = r \cos\theta
:y = r \sin\theta
這映射的雅可比矩陣為
:J = \begin{bmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta\end{bmatrix}.
所以
:G=(g_{ij}) = J^\mathrm{T}J = \begin{bmatrix}\cos^2\theta+\sin^2\theta & -r\sin\theta \cos\theta + r\sin\theta\cos\theta \\ -r\cos\theta\sin\theta + r\cos\theta\sin\theta & r^2 \sin^2\theta + r^2\cos^2\theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2\end{bmatrix} \

這跟微積分裡極座標的黎曼度量, \mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2 \mathrm{d}\theta^2，一致。

例子
歐幾里德幾何度量
二維歐幾里德度量張量：

:(g_{ij}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

弧線長度轉為熟悉微積分方程式：

:L = \int_a^b \sqrt{ \left(\frac{\mathrm{d}x^1}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}x^2}{\mathrm{d}t}\right)^2}\mathrm{d}t

在其他坐標系統的歐氏度量：

极坐标系：(x^1, x^2)=(r, \theta)

:(g_{ij}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (x^1)^2\end{bmatrix}

圓柱坐標系：(x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, z)

:(g_{ij}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}

球坐標系：(x^1, x^2, x^3)=(r, \phi, \theta)

:(g_{ij}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & (x^1\sin x^2)^2\end{bmatrix}

平坦的闵可夫斯基空间 (狭义相对论)：(x^0, x^1, x^2, x^3)=(ct, x, y, z)\,

:(g_{\mu\nu}) = (\eta_{\mu\nu}) \equiv \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}

在一些習慣中，與上面相反地，時間ct的度規分量取正號而空間 (x,y,z)的度規分量取負號，故矩陣表示為：

:(g_{\mu\nu}) = (\eta_{\mu\nu}) \equiv \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix}

參看
*偽黎曼度量