谱半径

數學上，矩阵或有界線性算子的谱半径（spectral radius）是其特徵值絕對值中的最大值（也就是矩阵的谱中元素絕對值中的最小上界），會表示為ρ(·)。

矩陣
令是矩陣中的特徵值，則其谱半径 is 定義為：

:\rho(A) = \max \left \{ |\lambda_1|, \dotsc, |\lambda_n| \right \}.

A的条件数可以用譜半徑表示，公式為 \rho(A) \rho(A^{-1}) 。

譜半徑是矩陣所有範數的一種下确界（infimum）。另一方面， \rho(A) \leqslant \|A\| 對每一個矩陣範數 \|\cdot\|都成立，Gelfand公式指出 \rho(A) = \lim_{k\to\infty} \|A^k\|^{1/k} 。不過，針對任意向量 \mathbf{v} \in \mathbb{C}^n ，譜半徑不一定會滿足 \|A\mathbf{v}\| \leqslant \rho(A) \|\mathbf{v}\| 。若要說明原因，可以令 r>1 為任意數，考慮矩陣 C_r = \begin{pmatrix} 0 & r^{-1} \\ r & 0 \end{pmatrix} 。 C_r 的特徵多項式是 \lambda^2 - 1 ，因此其特徵值為 \pm 1 ，且 \rho(C_r) = 1 。不過 C_r \mathbf{e}_1 = r \mathbf{e}_2 ，因此 \| C_r \mathbf{e}_1 \| = r > 1 = \rho(C_r) \|\mathbf{e}_1\| ，其中 \|\cdot\| 是 \mathbb{C}^n 上的任何 \ell^p 範數。至於可以當 k \to \infty 時，讓 \|C_r^k\|^{1/k} \to 1 的原因是 C_r^2 = I ，因此當 k \to \infty 時，使 \|C_r^k\|^{1/k} \leqslant \|C_r\|^{1/k} = r^{1/k} \to 1 。

: \|A\mathbf{v}\| \leqslant \rho(A) \|\mathbf{v}\| 針對所有 \mathbf{v} \in \mathbb{C}^n
成立的條件是A為埃尔米特矩阵及 \|\cdot\| 為欧几里得範數。

圖
有限图的谱半径定義為其邻接矩阵的谱半径。

此一定義可以擴散到無限圖，但是其每個頂點都只連接有限個頂點（存在一實數使得每一個頂點的度都小於）。此情形下，針對圖可定義：

: \ell^2(G) = \left \{ f : V(G) \to \mathbf{R} \ : \ \sum\nolimits_{v \in V(G)} \left \|f(v)^2 \right \|

令是 的邻接算子：

: \begin{cases} \gamma : \ell^2(G) \to \ell^2(G) \\ (\gamma f)(v) = \sum_{(u,v) \in E(G)} f(u) \end{cases}

的谱半径定義為有界線性算子的谱半径。
上界
矩陣譜半徑的上界
以下的命題指出了一個簡單但是有用的矩陣譜半徑上界：

命題：令，其譜半徑為，以及相容（Consistent）矩陣範數 。則針對每一個整數k \geqslant 1:

::\rho(A)\leq \|A^k\|^{\frac{1}{k}}.

證明

令為矩陣A的特徵值-特徵向量對。利用矩陣範數的次可乘性（sub-multiplicative property），可得：

:|\lambda|^k\|\mathbf{v}\| = \|\lambda^k \mathbf{v}\| = \|A^k \mathbf{v}\| \leq \|A^k\|\cdot\|\mathbf{v}\|

因為，可得

:|\lambda|^k \leq \|A^k\|

因此

:\rho(A)\leq \|A^k\|^{\frac{1}{k}}.

圖譜半徑的上界
有關n個頂點，m個邊的圖，有許多的譜半徑的上界公式。例如，若

:\frac{(k-2)(k-3)}{2} \leq m-n \leq \frac{k(k-3)}{2}

其中3 \le k \le n為整數，則 ：

:\rho(G) \leq \sqrt{2 m-n-k+\frac{5}{2}+\sqrt{2 m-2 n+\frac{9}{4}}}
乘幂數列
定理
谱半径和矩陣乘幂數列是否收斂有緊密的關係。以下的定理會成立：
:定理：令，其譜半徑。則若且唯若
::\lim_{k \to \infty} A^k = 0.
:另一方面，若, \lim_{k \to \infty} \|A^k\| = \infty。上述敘述針對上的任何矩陣範數都有效。

定理證明
假設問題中的極限值為零，可以證明。令為A的特征值和特征向量對。因為可得：

:\begin{align}
0 &= \left(\lim_{k \to \infty} A^k \right) \mathbf{v} \\
&= \lim_{k \to \infty} \left(A^k\mathbf{v} \right ) \\
&= \lim_{k \to \infty} \lambda^k\mathbf{v} \\
&= \mathbf{v} \lim_{k \to \infty} \lambda^k
\end{align}

因為假設，會得到

:\lim_{k \to \infty}\lambda^k = 0

表示|λ| A = VJV^{-1}

而

:J=\begin{bmatrix}
J_{m_1}(\lambda_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & J_{m_2}(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \cdots & \ddots & \cdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & J_{m_{s-1}}(\lambda_{s-1}) & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & J_{m_s}(\lambda_s)
\end{bmatrix}

其中

:J_{m_i}(\lambda_i)=\begin{bmatrix}
\lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_i & 1 \\
0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i
\end{bmatrix}\in \mathbf{C}^{m_i \times m_i}, 1\leq i\leq s.

因此可得

:A^k=VJ^kV^{-1}

因為是分塊對角矩陣

:J^k=\begin{bmatrix}
J_{m_1}^k(\lambda_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & J_{m_2}^k(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \cdots & \ddots & \cdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & J_{m_{s-1}}^k(\lambda_{s-1}) & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & J_{m_s}^k(\lambda_s)
\end{bmatrix}

而m_i \times m_i若尔当方塊矩陣次方可以得到，針對k \geq m_i-1：

:J_{m_i}^k(\lambda_i)=\begin{bmatrix}
\lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} & {k \choose 2}\lambda_i^{k-2} & \cdots & {k \choose m_i-1}\lambda_i^{k-m_i+1} \\
0 & \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} & \cdots & {k \choose m_i-2}\lambda_i^{k-m_i+2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} \\
0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i^k
\end{bmatrix}

因此，若\rho(A) ，則針對所有的，|\lambda_i| 都會成立。因此針對所有的，可得：

:\lim_{k \to \infty}J_{m_i}^k=0

這也表示

:\lim_{k \to \infty} J^k = 0.

因此

:\lim_{k \to \infty}A^k=\lim_{k \to \infty}VJ^kV^{-1}=V \left (\lim_{k \to \infty}J^k \right )V^{-1}=0

另一方面，若\rho(A)>1，當k增加時，在中至少有一個元素無法維持有界，因此證明了定理的第二部份。
Gelfand公式
定理
以下的定理可以用[矩陣範數的極限來計算T谱半径
:定理（Gelfand公式，1941年）：令任何矩陣範數 ，可得
::\rho(A)=\lim_{k \to \infty} \left \|A^k \right \|^{\frac{1}{k}}..

證明
令任意，先建構以下二個矩陣：

:A_{\pm}= \frac{1}{\rho(A) \pm\varepsilon}A.

則:

:\rho \left (A_{\pm} \right ) = \frac{\rho(A)}{\rho(A) \pm \varepsilon}, \qquad \rho (A_+)

先將之前的定理應用到:

:\lim_{k \to \infty} A_+^k=0.

這表示，根據級數極限定理，一定存在使得針對所有的k ≥ N+，下式都成立

:\begin{align}
\left \|A_+^k \right \|
因此
:\begin{align}
\left \|A^k \right \|^{\frac{1}{k}}

將之前的定理用在，表示\|A_-^k\|無界，一定存在使得針對所有的k ≥ N−，下式都成立

:\begin{align}
\left\|A_-^k \right \| > 1
\end{align}
因此
:\begin{align}
\left\|A^k \right\|^{\frac{1}{k}} > \rho(A)-\varepsilon.
\end{align}

令{{math|N max{N+, N−},}}，可得：

:\forall \varepsilon>0\quad \exists N\in\mathbf{N} \quad \forall k\geq N \quad \rho(A)-\varepsilon

因此，依定義，可得下式

:\lim_{k \to \infty} \left \|A^k \right \|^{\frac{1}{k}} = \rho(A).
舉例
考慮以下矩陣

:A=\begin{bmatrix}
9 & -1 & 2\\
-2 & 8 & 4\\
1 & 1 & 8
\end{bmatrix}

其中的特徵值為。依照定義，。在以下的表中，會以四個最常用的矩陣範式，在k增加時，計算\|A^k\|^{\frac{1}{k}}（注意，因為此矩陣特殊的形式，\|.\|_1=\|.\|_\infty）:

有界線性算子
針對有界線性算子 及算子范数 ||·||，可以得到

:\rho(A) = \lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{\frac{1}{k}}.

（複數希爾伯特空間上的）有界算子若其谱半径等於，可以稱為「譜算子」（spectraloid operator）。其中一個例子是正规算子。
相關條目
*聯合譜半徑
*
*矩阵的谱
註解
參考資料
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