热核

热核（）在数学中是指热方程的基本解。其也是拉普拉斯算子谱分析中的重要工具之一。对于固定边界的区域，当边界温度给定、并于t = 0时在其中某一点放置一单位热能时，热核表示此后区域内温度的变化过程。

最常见的热核为d维欧几里得空间Rd上的热核。该热核为随时间变化的高斯函数，其表达式为
:K(t,x,y) = \frac{1}{(4\pi t)^{d/2}} e^{-|x-y|^2/4t}\,

该热核是热方程
:\frac{\partial K}{\partial t}(t,x,y) = \Delta_x K(t,x,y)\,

的解，其中t > 0，x,y ∈ Rd，Δ则表示拉普拉斯算子。方程的初始条件为
:\lim_{t \to 0} K(t,x,y) = \delta(x-y)=\delta_x(y)

其中δ表示狄拉克δ函数。对任一紧支撑的光滑函数φ，有
:\lim_{t \to 0}\int_{\mathbf{R}^d} K(t,x,y)\phi(y)\,dy = \phi(x).

对于Rd上的一般区域，热核并没有显式的表达式。当区域为圆盘或方形时，热核则分别为贝塞尔函数与雅可比Θ函数。可以证明，对任意黎曼流形，当边界条件充分正则时，热核存在且在t>0时光滑。

参考文献
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