秩—零化度定理
秩—零化度定理（）是线性代数中的一个定理，给出了一个线性变换或一个矩阵的秩和它的零化度之间的关系。对一个元素在體;}-\mathrm{F}中的m \cdot n矩阵\mathrm{A}，秩－零化度定理说明，它的秩（rank A）和零化度（nullity A）之和等于n： :\operatorname{rank} \mathrm{A} + \operatorname{nullity} \mathrm{A} = n. 同样的，对于一个从F-…
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辛克宏定理
辛克宏定理（）是线性代数中的一个定理，指所有元素为正的方块矩阵都可以写成一个正对角矩阵、一个与另一个正对角矩阵之积的形式。 定理 如果A是所有元素都严格为正的n\times n矩阵，则存在元素严格为正的对角矩阵D_1和D_2，使得D_1AD_2是双随机矩阵，即每一行或列之和均为1。矩阵D_1和D_2在前者乘以一个正数、后者除以相同正数的情况下是唯一的。 辛克宏-诺普算法 一个逼近双随机矩阵的简单迭代方法是交替地缩放A中所有行与列的比例，…
凱萊–哈密頓定理
在線性代數中，凱萊–哈密頓定理（）（以數學家阿瑟·凱萊與威廉·卢云·哈密顿命名）表明每個佈於任何交換環上的實或複方陣都滿足其特徵方程式。 明確地說：設A為給定的n \times n矩陣，並設I_n為n \times n單位矩陣，則A的特徵多項式定義為： :p(\lambda)=\det(\lambda I_n-A) 其中\det表行列式函數。凱萊–哈密頓定理斷言： :p(A)=O 凱萊–哈密頓定理等價於方陣的特徵多項式會被其極小多項式整…
Davis-Kahan定理
Davis-Kahan定理（）是随机矩阵分析中的一个重要的基础性定理。它的基本内容是，如果两个矩阵在某种合适的模之下相近，且有足够的特征裂隙，那么它们相应的特征向量子空间也相似。 定理内容 两个线性空间的夹角 考虑两个单位列正交矩阵 V,\hat{V}\in\mathbb{R}^{n\times d} （“单位列正交”意为：其满足 V^TV = \hat{V}^T\hat{V} = I_d） 之列向量分别张成的线性子空间，那么这两个子空…
线性代数基本定理
线性代数基本定理是秩为 r 的 m×n 矩阵A的奇异值分解: :A=U\Sigma V^T\ 对于矩阵A \in \mathbf{R}^{m \times n} ( A 有m行及n列)产生了四个基本线性子空间: 子空间名字 定义 包含于 维数 基 列空间、值域或像 \mathrm{im}(A) 或 \mathrm{range} (A) \mathbf{R}^m r \mathbf{U} 的前 r 列 左零空间或上核 \mathrm{ke…
谱定理
数学上，特别是线性代数和泛函分析中，谱定理（英語：Spectral theorem）是关于线性算子或者矩阵的一些结果。泛泛来讲，谱定理给出了算子或者矩阵可以对角化的条件（也就是可以在某个基底中用对角矩阵来表示）。对角化的概念在有限维空间中比较直接，但是对于无穷维空间中的算子需要作一些修改。通常，谱定理辨认出一族可以用乘法算子来代表的线性算子，这是可以找到的最简单的情况了。用更抽象的语言来讲，谱定理是关于交换C-代数的命题。参看谱分析中的…