线性代数基本定理是秩为 r 的 m×n 矩阵A的奇异值分解:

:A=U\Sigma V^T\

对于矩阵A \in \mathbf{R}^{m \times n} ( A 有m行及n列)产生了四个基本线性子空间:

子空间名字
定义
包含于
维数
基

列空间、值域或像
\mathrm{im}(A) 或 \mathrm{range} (A)
\mathbf{R}^m
r
\mathbf{U} 的前 r 列

左零空间或上核
\mathrm{ker}(A^T) 或 \mathrm{null} (A^T)
\mathbf{R}^m
m - r
\mathbf{U} 的后 m - r 列

行空间或余象
\mathrm{im}(A^T) 或 \mathrm{range} (A^T)
\mathbf{R}^n
r
\mathbf{V} 的前 r 列

零空间或核
\mathrm{ker}(A) 或 \mathrm{null} (A)
\mathbf{R}^n
n - r
\mathbf{V} 的后 n - r 列

Secondly:

In \mathbf{R}^n, \mathrm{ker}(A) = (\mathrm{im}(A^T))^\perp, 也就是, 零空间与行空间的正交补相同.

In \mathbf{R}^m, \mathrm{ker}(A^T) = (\mathrm{im}(A))^\perp, 也就是, 左零空间为列空间的正交补.

子空间的维数遵从秩-零化度定理.

进一步, 所有这些空间本质地定义于– 不必考虑基的选择 – 抽象向量空间, 算子, 对偶空间A\colon V \to W 与A^ \colon W^ \to V^: A^的核与像是A的上核与余象.

参见

参考文献

Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications. 3rd ed. Orlando: Saunders, 1988.