凱萊–哈密頓定理

在線性代數中，凱萊–哈密頓定理（）（以數學家阿瑟·凱萊與威廉·卢云·哈密顿命名）表明每個佈於任何交換環上的實或複方陣都滿足其特徵方程式。

明確地說：設A為給定的n \times n矩陣，並設I_n為n \times n單位矩陣，則A的特徵多項式定義為：
:p(\lambda)=\det(\lambda I_n-A)

其中\det表行列式函數。凱萊–哈密頓定理斷言：
:p(A)=O

凱萊–哈密頓定理等價於方陣的特徵多項式會被其極小多項式整除，這在尋找若尔当标准形時特別有用。

例子
舉例明之，考慮下述方陣：
:A = \begin{bmatrix}1&2\\
3&4\end{bmatrix}

其特徵多項式為
:p(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\
-3&\lambda-4\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)-2\cdot3=\lambda^2-5\lambda-2

此時可以直接驗證凱萊–哈密頓定理：
:A^2-5A-2I_2=O

此式可以簡化高次冪的運算，關鍵在於下述關係：
:A^2-5A-2I_2=O
:A^2=5A+2I_2

例如，為了計算A^4，可以反覆利用上述關係式：
:A^3=(5A+2I_2)A=5A^2+2A=5(5A+2I_2)+2A=27A+10I_2
:A^4=A^3A=(27A+10I_2)A=27A^2+10A=27(5A+2I_2)+10A
:A^4=145A+54I_2

或是，如果要計算A^n，也可以假設：
:A^n=aA+bI

然後，依照前面的特徵多項式\lambda^2-5\lambda-2之兩解\lambda_1,\lambda_2，代入後可以得到
:\lambda_1^n=a\lambda_1+b
:\lambda_2^n=a\lambda_2+b

然後解方程後求出a,b，便可得A^n。

此外，凱萊–哈密頓定理也是計算特徵向量的重要工具。

註：一般而言，若n \times n矩陣A可逆（即：\det (A) \neq 0），則A^{-1}可以寫成A的冪次和：特徵多項式有如下形式
:p(\lambda)=\lambda^n-\operatorname{tr}(A)\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^n\det(A)

將方程式p(A)=0同乘以A^{-1}，便得到
:A^{-1}=\frac{(-1)^{n-1}}{\det(A)}(A^{n-1}-\operatorname{tr}(A)A^{n-2}+\cdots)

定理證明
以下考慮佈於域k = \mathbb{R}, \mathbb{C}上的矩陣。

凱萊–哈密頓定理可以視為線性代數中拉普拉斯展開的推論。拉普拉斯展開可推出若S是n \times n矩陣，而\operatorname{adj}(S)表其伴隨矩陣，則
:S\operatorname{adj}(S) = \det (S) I_n

取S = t I_n - A，便得到(t I_n - A) \operatorname{adj}(t I_n - A) = p_A(t) I_n。此式對所有t皆成立，由於實數或複數域有無窮多元素，上式等式在多項式環k[t]內成立。

設M := k^n，矩陣A賦予M一個k[t]-模結構：f(t) \cdot m = f(A)m。考慮k[t]-模M[t] := M \otimes_k k[t]，我們有k[t]-模之間的「求值態射」：
:e_A: M[t] \to M, \qquad M \otimes t^i \mapsto A^i m

固定m \in M，對M[t]中的等式
:(tI_n-A)\operatorname{adj}(tI_n-A) \,m = p_A(t) m

右側取e_A後得到p_A(A)m，左側取e_A後得到(A-A) \cdot (\cdots) = 0。明所欲證。

另外一个简单的证明：

令：
:B=\mbox{adj}(tI_n-A)
由:
:S\operatorname{adj}(S) = \det (S) I_n
得：
:(t I_n - A)B = \det(t I_n - A) I_n = p(t) I_n
:
\begin{align}
p(t) I_n &= (t I_n - A)B \\
&=(t I_n - A)\sum_{i = 0}^{n - 1} t^i B_i \\
&=\sum_{i = 0}^{n - 1} tI_n\cdot t^i B_i - \sum_{i = 0}^{n - 1} A\cdot t^i B_i \\
&=\sum_{i = 0}^{n - 1} t^{i + 1} B_i- \sum_{i = 0}^{n - 1} t^i AB_i \\
&=t^n B_{n - 1} + \sum_{i = 1}^{n - 1} t^i(B_{i - 1} - AB_i) - AB_0
\end{align}

:p(t)I_n=\det(t I_n - A)I_n=t^nI_n+t^{n-1}c_{n-1}I_n+\cdots+tc_1I_n+c_0I_n
因两多项式，他们的对应项系数相等得：
:B_{n - 1} = I_n, \qquad B_{i - 1} - AB_i = c_i I_n\quad \text{for }1 \leq i \leq n-1, \qquad -A B_0 = c_0 I_n~
在等式两边t的i次项系数分别乘以Ai, 并将等式左右两边分别相加并合项得：
:O=A^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_1A+c_0I_n= p(A)
得证。

抽象化與推廣
前述證明用到係數在k[t]的矩陣的克萊姆法則，事實上該法則可施於任何係數在交換環上的矩陣。藉此，凱萊–哈密頓定理可以推廣到一個交換環R上的任何有限生成自由模M（向量空間是特例）。中山正引理的一種證明就用到這個技巧。

外部連結

• [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=7308 PlanetMath 上的證明]