辛克宏定理

辛克宏定理（）是线性代数中的一个定理，指所有元素为正的方块矩阵都可以写成一个正对角矩阵、一个与另一个正对角矩阵之积的形式。

定理
如果A是所有元素都严格为正的n\times n矩阵，则存在元素严格为正的对角矩阵D_1和D_2，使得D_1AD_2是双随机矩阵，即每一行或列之和均为1。矩阵D_1和D_2在前者乘以一个正数、后者除以相同正数的情况下是唯一的。

辛克宏-诺普算法
一个逼近双随机矩阵的简单迭代方法是交替地缩放A中所有行与列的比例，使其元素之和为1。辛克宏和诺普（Knopp）提出了该算法并分析了其收敛性。这一算法与调查统计学中的本质上相同。

扩展
在酉矩阵中存在类似的结论：对于任意酉矩阵U，都存在两个对角酉矩阵L和R，使得LUR的每一列和每一行的元素之和均为1。

对矩阵间映射也有类似的扩展结论：给定一个克劳斯（Kraus）算子\Phi表示将一个密度矩阵映射到另一个密度矩阵的量子操作，即

: S \mapsto \Phi(S) = \sum_i B_i S B_i^*,

其满足迹不变

: \sum_i B_i^* B_i = I,

并且其范围在正定锥内部（严格正定）。在此条件下，存在正定的缩放因子x_j（j\in\{0,1\}），使得缩放后的克劳斯算子

: S \mapsto x_1\Phi(x_0^{-1}Sx_0^{-1})x_1 = \sum_i (x_1B_ix_0^{-1}) S (x_1B_ix_0^{-1})^*

是双随机的，即

: x_1\Phi(x_0^{-1}I x_0^{-1})x_1 = I,

: x_0^{-1}\Phi^*(x_1I x_1)x_0^{-1} = I,

其中I表示恒等算子。

应用
2010年代，辛克宏定理开始被用于求解熵正则化的最优传输问题。这一方法在机器学习领域引起了关注，因为由此得到的辛克宏距离（Sinkhorn distance）可用于评估数据分布之间的差异。在一些最大似然训练效果不佳的情况下，这种方法可以改进机器学习算法的训练效果。

参考文献