在数值线性代数中，共轭梯度法是一种求解对称正定线性方程组
:\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}
的迭代方法。共轭梯度法可以从不同的角度推导而得，包括作为求解最优化问题的共轭方向法的特例，以及作为求解特征值问题的Arnoldi/Lanczos迭代的变种。
本条目记述这些推导方法中的重要步骤。
从共轭方向法推导
共轭梯度法可以看作是应用于二次函数最小化的共轭方向法的特例
: f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}-2\boldsymbol{b}^\mathrm{T}\boldsymbol{x}\text{.}
共轭方向法
在共轭方向上求最小化：
: f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}-2\boldsymbol{b}^\mathrm{T}\boldsymbol{x}\text{.}
从最初的猜测\boldsymbol{x}_0开始，以及相应的残差 \boldsymbol{r}_0=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{Ax}_0, 并通过公式计算迭代和残差
: \begin{align}
\alpha_i&=\frac{\boldsymbol{p}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{r}_i}{\boldsymbol{p}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{Ap}_i}\text{,}\\
\boldsymbol{x}_{i+1}&=\boldsymbol{x}_i+\alpha_i\boldsymbol{p}_i\text{,}\\
\boldsymbol{r}_{i+1}&=\boldsymbol{r}_i-\alpha_i\boldsymbol{Ap}_i
\end{align}
其中，\boldsymbol{p}_0,\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\ldots 为一系列相互共轭的方向，例如：
: \boldsymbol{p}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{Ap}_j=0，对于任何i\neq j
由于共轭方向法没有给出用于选择方向的公式，因此该方法具有误差 \boldsymbol{p}_0,\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\ldots
而共轭方向法也有多种方法分支，包括共轭梯度法和高斯消元法。
从Arnoldi/Lanczos迭代推导
共轭梯度法可以看作Arnoldi/Lanczos迭代应用于求解线性方程组时的一个变种。
一般Arnoldi方法
Arnoldi迭代从一个向量\boldsymbol{r}_0开始，通过定义\boldsymbol{v}_i=\boldsymbol{w}_i/\lVert\boldsymbol{w}_i\rVert_2，其中
:\boldsymbol{w}_i=\begin{cases}
\boldsymbol{r}_0 & \text{if }i=1\text{,}\\
\boldsymbol{Av}_{i-1}-\sum_{j=1}^{i-1}(\boldsymbol{v}_j^\mathrm{T}\boldsymbol{Av}_{i-1})\boldsymbol{v}_j & \text{if }i>1\text{,}
\end{cases}
逐步建立Krylov子空间
:\mathcal{K}(\boldsymbol{A},\boldsymbol{r}_0)=\{\boldsymbol{r}_0,\boldsymbol{Ar}_0,\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{r}_0,\ldots\}
的一组标准正交基\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3,\ldots\}。
换言之，对于i>1，\boldsymbol{v}_i由将\boldsymbol{Av}_{i-1}相对于\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_{i-1}\}进行Gram-Schmidt正交化然后归一化得到。
写成矩阵形式，迭代过程可以表示为
:\boldsymbol{AV}_i=\boldsymbol{V}_{i+1}\boldsymbol{\tilde{H}}_i\text{,}
其中
:\begin{align}
\boldsymbol{V}_i&=\begin{bmatrix}
\boldsymbol{v}_1 & \boldsymbol{v}_2 & \cdots & \boldsymbol{v}_i
\end{bmatrix}\text{,}\\
\boldsymbol{\tilde{H}}_i&=\begin{bmatrix}
h_{11} & h_{12} & h_{13} & \cdots & h_{1,i}\\
h_{21} & h_{22} & h_{23} & \cdots & h_{2,i}\\
& h_{32} & h_{33} & \cdots & h_{3,i}\\
& & \ddots & \ddots & \vdots\\
& & & h_{i,i-1} & h_{i,i}\\
& & & & h_{i+1,i}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\boldsymbol{H}_i\\
h_{i+1,i}\boldsymbol{e}_i^\mathrm{T}
\end{bmatrix}\text{,}\\
h_{ji}&=\begin{cases}
\boldsymbol{v}_j^\mathrm{T}\boldsymbol{Av}_i & \text{if }j\leq i\text{,}\\
\lVert\boldsymbol{w}_{i+1}\rVert_2 & \text{if }j=i+1\text{,}\\
0 & \text{if }j>i+1\text{.}
\end{cases}
\end{align}
当应用于求解线性方程组时，Arnoldi迭代对应于初始解\boldsymbol{x}_0的残量\boldsymbol{r}_0=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{Ax}_0开始迭代，在每一步迭代之后计算\boldsymbol{y}_i=\boldsymbol{H}_i^{-1}(\lVert\boldsymbol{r}_0\rVert_2\boldsymbol{e}_1)和新的近似解\boldsymbol{x}_i=\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{V}_i\boldsymbol{y}_i.
直接Lanzcos方法
在余下的讨论中，我们假定\boldsymbol{A}是对称正定矩阵。由于\boldsymbol{A}的对称性, 上Hessenberg矩阵\boldsymbol{H}_i=\boldsymbol{V}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{AV}_i变成对阵三对角矩阵。于是它可以被更明确地表示为
:\boldsymbol{H}_i=\begin{bmatrix}
a_1 & b_2\\
b_2 & a_2 & b_3\\
& \ddots & \ddots & \ddots\\
& & b_{i-1} & a_{i-1} & b_i\\
& & & b_i & a_i
\end{bmatrix}\text{.}
这使得迭代中的\boldsymbol{v}_i有一个简短的三项递推式。Arnoldi迭代从而简化为Lanczos迭代。
由于\boldsymbol{A}对称正定，\boldsymbol{H}_i同样也对称正定。因此，\boldsymbol{H}_i可以通过不选主元的LU分解分解为
:\boldsymbol{H}_i=\boldsymbol{L}_i\boldsymbol{U}_i=\begin{bmatrix}
1\\
c_2 & 1\\
& \ddots & \ddots\\
& & c_{i-1} & 1\\
& & & c_i & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
d_1 & b_2\\
& d_2 & b_3\\
& & \ddots & \ddots\\
& & & d_{i-1} & b_i\\
& & & & d_i
\end{bmatrix}\text{,}
其中c_i和d_i有简单的递推式：
:\begin{align}
c_i&=b_i/d_{i-1}\text{,}\\
d_i&=\begin{cases}
a_1 & \text{if }i=1\text{,}\\
a_i-c_ib_i & \text{if }i>1\text{.}
\end{cases}
\end{align}
改写\boldsymbol{x}_i=\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{V}_i\boldsymbol{y}_i为
:\begin{align}
\boldsymbol{x}_i&=\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{V}_i\boldsymbol{H}_i^{-1}(\lVert\boldsymbol{r}_0\rVert_2\boldsymbol{e}_1)\\
&=\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{V}_i\boldsymbol{U}_i^{-1}\boldsymbol{L}_i^{-1}(\lVert\boldsymbol{r}_0\rVert_2\boldsymbol{e}_1)\\
&=\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{P}_i\boldsymbol{z}_i\text{,}
\end{align}
其中
:\begin{align}
\boldsymbol{P}_i&=\boldsymbol{V}_{i}\boldsymbol{U}_i^{-1}\text{,}\\
\boldsymbol{z}_i&=\boldsymbol{L}_i^{-1}(\lVert\boldsymbol{r}_0\rVert_2\boldsymbol{e}_1)\text{.}
\end{align}
此时需要观察到
:\begin{align}
\boldsymbol{P}_i&=\begin{bmatrix}
\boldsymbol{P}_{i-1} & \boldsymbol{p}_i
\end{bmatrix}\text{,}\\
\boldsymbol{z}_i&=\begin{bmatrix}
\boldsymbol{z}_{i-1}\\
\zeta_i
\end{bmatrix}\text{.}
\end{align}
实际上，\boldsymbol{p}_i和\zeta_i同样有简短的递推式：
:\begin{align}
\boldsymbol{p}_i&=\frac{1}{d_i}(\boldsymbol{v}_i-b_i\boldsymbol{p}_{i-1})\text{,}\\
\alpha_i&=-c_i\zeta_{i-1}\text{.}
\end{align}
通过这个形式，我们得到\boldsymbol{x}_i的一个简单的递推式：
:\begin{align}
\boldsymbol{x}_i&=\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{P}_i\boldsymbol{z}_i\\
&=\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{P}_{i-1}\boldsymbol{z}_{i-1}+\zeta_i\boldsymbol{p}_i\\
&=\boldsymbol{x}_{i-1}+\zeta_i\boldsymbol{p}_i\text{.}
\end{align}
以上的递推关系立即导出比共轭梯度法稍微更复杂的直接Lanczos方法。
从正交性和共轭性导出共轭梯度法
如果我们允许缩放\boldsymbol{p}_i并通过常数因子补偿缩放的系数，我们可能可以得到以下形式的更简单的递推式：
:\begin{align}
\boldsymbol{x}_i&=\boldsymbol{x}_{i-1}+\alpha_{i-1}\boldsymbol{p}_{i-1}\text{,}\\
\boldsymbol{r}_i&=\boldsymbol{r}_{i-1}-\alpha_{i-1}\boldsymbol{Ap}_{i-1}\text{,}\\
\boldsymbol{p}_i&=\boldsymbol{r}_i+\beta_{i-1}\boldsymbol{p}_{i-1}\text{.}
\end{align}
作为简化的前提，我们现在推导\boldsymbol{r}_i的正交性和\boldsymbol{p}_i的共轭性，即对于i\neq j,
:\begin{align}
\boldsymbol{r}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{r}_j&=0\text{,}\\
\boldsymbol{p}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{Ap}_j&=0\text{.}
\end{align}
各个残量之间满足正交性的原因是\boldsymbol{r}_i实际上可由\boldsymbol{v}_{i+1}乘上一个系数而得。这是因为对于i=0，\boldsymbol{r}_0=\lVert\boldsymbol{r}_0\rVert_2\boldsymbol{v}_1，对于i>0，
:\begin{align}
\boldsymbol{r}_i&=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{Ax}_i\\
&=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{V}_i\boldsymbol{y}_i)\\
&=\boldsymbol{r}_0-\boldsymbol{AV}_i\boldsymbol{y}_i\\
&=\boldsymbol{r}_0-\boldsymbol{V}_{i+1}\boldsymbol{\tilde{H}}_i\boldsymbol{y}_i\\
&=\boldsymbol{r}_0-\boldsymbol{V}_i\boldsymbol{H}_i\boldsymbol{y}_i-h_{i+1,i}(\boldsymbol{e}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{y}_i)\boldsymbol{v}_{i+1}\\
&=\lVert\boldsymbol{r}_0\rVert_2\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{V}_i(\lVert\boldsymbol{r}_0\rVert_2\boldsymbol{e}_1)-h_{i+1,i}(\boldsymbol{e}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{y}_i)\boldsymbol{v}_{i+1}\\
&=-h_{i+1,i}(\boldsymbol{e}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{y}_i)\boldsymbol{v}_{i+1}\text{.}\end{align}
要得到\boldsymbol{p}_i的共轭性，只需证明\boldsymbol{P}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{AP}_i是对角矩阵：
:\begin{align}
\boldsymbol{P}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{AP}_i&=\boldsymbol{U}_i^{-\mathrm{T}}\boldsymbol{V}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{AV}_i\boldsymbol{U}_i^{-1}\\
&=\boldsymbol{U}_i^{-\mathrm{T}}\boldsymbol{H}_i\boldsymbol{U}_i^{-1}\\
&=\boldsymbol{U}_i^{-\mathrm{T}}\boldsymbol{L}_i\boldsymbol{U}_i\boldsymbol{U}_i^{-1}\\
&=\boldsymbol{U}_i^{-\mathrm{T}}\boldsymbol{L}_i
\end{align}
是对称的下三角矩阵，因而必然是对角矩阵。
现在我们可以单纯由\boldsymbol{r}_i的正交性和\boldsymbol{p}_i的共轭性推导相对于缩放后的\boldsymbol{p}_i的常数因子\alpha_i和\beta_i。
由于\boldsymbol{r}_i的正交性，必然有\boldsymbol{r}_{i+1}^\mathrm{T}\boldsymbol{r}_i=(\boldsymbol{r}_i-\alpha_i\boldsymbol{Ap}_i)^\mathrm{T}\boldsymbol{r}_i=0。于是
:\begin{align}
\alpha_i&=\frac{\boldsymbol{r}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{r}_i}{\boldsymbol{r}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{Ap}_i}\\
&=\frac{\boldsymbol{r}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{r}_i}{(\boldsymbol{p}_i-\beta_{i-1}\boldsymbol{p}_{i-1})^\mathrm{T}\boldsymbol{Ap}_i}\\
&=\frac{\boldsymbol{r}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{r}_i}{\boldsymbol{p}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{Ap}_i}\text{.}
\end{align}
类似地，由于\boldsymbol{p}_i的共轭性，必然有\boldsymbol{p}_{i+1}^\mathrm{T}\boldsymbol{Ap}_i=(\boldsymbol{r}_{i+1}+\beta_i\boldsymbol{p}_i)^\mathrm{T}\boldsymbol{Ap}_i=0。于是
:\begin{align}
\beta_i&=-\frac{\boldsymbol{r}_{i+1}^\mathrm{T}\boldsymbol{Ap}_i}{\boldsymbol{p}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{Ap}_i}\\
&=-\frac{\boldsymbol{r}_{i+1}^\mathrm{T}(\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_{i+1})}{\alpha_i\boldsymbol{p}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{Ap}_i}\\
&=\frac{\boldsymbol{r}_{i+1}^\mathrm{T}\boldsymbol{r}_{i+1}}{\boldsymbol{r}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{r}_i}\text{.}
\end{align}
推导至此完成。
参考文献
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