矩阵指数

矩阵指数（matrix exponential）是方块矩阵的一种矩阵函数，与指数函数类似。矩阵指数给出了矩阵李代数与对应的李群之间的关系。

设X为n×n的实数或复数矩阵。X的指数，用eX或exp(X)来表示，是由以下幂级数所给出的n×n矩阵：

:e^X = \sum_{k=0}^\infty{1 \over k!}X^k

以上的级数总是收敛的，因此X的指数是定义良好的。注意，如果X是1×1的矩阵，则X的矩阵指数就是由X的元素的指数所组成的1×1矩阵。

性质
基本性质
设X和Y为n×n的复数矩阵，并设a和b为任意的复数。我们把n×n的单位矩阵记为I，把零矩阵记为0。

我们可以从指数级数的定义直接得到矩阵指数的如下性质：
*

exp(XT) = (exp X)T，其中XT表示X的转置。从中可以推出，如果X是对称矩阵，则eX也是对称矩阵；如果X是斜对称矩阵，则eX是正交矩阵。

exp(X*) = (exp X)，其中X表示X的共轭转置。可以推出，如果X是埃尔米特矩阵，则e*X也是埃尔米特矩阵；如果X是斜埃尔米特矩阵，则eX是酉矩阵。

如果是可逆矩阵，那么

接下来是一个关键性质：

如果XY=YX那么 e^Xe^Y=e^{X+Y}

由此导出的推论有：
*
*

线性微分方程
矩阵指数的一个重要性，是它可以用来解微分方程。从(1)可知，以下微分方程
: \frac{d}{dt} y(t) = Ay(t), \quad y(0) = y_0
其中A是矩阵，具有解
: y(t) = e^{At} y_0 \
矩阵指数也可以用来解非齐次方程：
: \frac{d}{dt} y(t) = Ay(t) + z(t), \quad y(0) = y_0
参见以下的例子。

当A不是常数时，以下形式的微分方程没有闭式解：
: \frac{d}{dt} y(t) = A(t) \, y(t), \quad y(0) = y_0
但马格努斯级数可以给出无穷级数形式的解。

矩阵指数的行列式
根据雅可比公式，对任意复矩阵，下列迹等式成立：
{{Equation box 1
|indent =:
|equation = \det (e^A)= e^{\operatorname{tr}(A)}~
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF7}}

除了提供一种额外的计算工具，这个等式还表明矩阵指数总是可逆矩阵。这点可以如下证明：因为上述等式的右边恒不等于0，所以左边，从而必可逆。

指数相加
我们知道，对于任何实数（标量）x和y，指数函数都满足公式ex + y = exey。类似的等式对于可交换矩阵也成立：如果矩阵X和Y是可交换的（即XY = YX），则：

:e^{X+Y} = e^Xe^Y \

但是，如果它们不是可交换的，则以上的等式不一定成立。

这个命题反过来不成立：eX+Y=eXeY并不一定就意味着X和Y是可交换的。但是，如果X和Y只含有代数数，而且它们的大小至少为2×2，则反过来也成立。

X和Y不可交换的情况可以用以下方法计算：

李乘积公式
即使X和Y不可交换，e^{X+Y}可以用李乘积公式来计算
:e^{X+Y}=\lim_{n\rightarrow\infty}(e^{X/n}e^{Y/n})^n

贝克尔-坎贝尔-豪斯多夫公式
从另一个方向讲，如果X和Y是元素足够小（但不一定可交换）的矩阵，我们有：
:e^Xe^Y=e^Z
其中Z可以通过X和Y的交换子的级数（贝克尔-坎贝尔-豪斯多夫公式）来计算：
:Z=X+Y+\frac{1}{2}[X,Y]+\frac{1}{12}[X,[X,Y]]+\cdots
其中余项均为与X和Y相关的迭代交换子。

指数映射
注意矩阵的指数总是非奇异方阵。eX的逆矩阵由e−X给出。这与复数的指数总是非零的事实类似。这样，矩阵指数就给出了一个映射：
:\exp \colon M_n(\mathbb C) \to \mbox{GL}(n,\mathbb C)
这是从所有n×n矩阵的空间到一般线性群（所有非奇异方阵所组成的群）的映射。实际上，这个映射是满射，就是说每一个非奇异方阵都可以写成某个矩阵的指数。矩阵对数就是这个映射的逆映射。

对于任何两个矩阵X和Y，我们有：

: \| e^{X+Y} - e^X \| \le \|Y\| e^{\|X\|} e^{\|Y\|}

其中|| · ||表示任意的矩阵范数。从中可以推出，指数映射在Mn(C)的紧子集内是连续和利普希茨连续的。

以下的映射

:t \mapsto e^{tX}, \qquad t \in \mathbb R

定义了一般线性群中的一条光滑曲线，当t = 0时穿过单位元。实际上，这给出了一般线性群的一个单参数子群，这是由于：

:e^{tX}e^{sX} = e^{(t+s)X} \

这条曲线在点t的导数（或切向量）由以下等式给出：

:\frac{d}{dt}e^{tX} = Xe^{tX} \qquad (1)

t = 0时的导数就是矩阵X，所以我们可以说，X是这个单参数子群的推广。

更加一般地：

:\frac{d}{dt}e^{X(t)} = \int_0^1 e^{(1-\alpha) X(t)} \frac{dX(t)}{dt} e^{\alpha X(t)}\,d\alpha

矩阵指数的计算
找到可靠而准确的方法来计算矩阵指数是很困难的，这仍然是目前数学和数值分析领域的一个重要研究课题。Matlab、GNU Octave和SciPy都使用帕德近似。在本节中，我们讨论了原则上适用于任何矩阵的方法，并且可以对小矩阵进行显式处理。随后的章节描述了适合对大矩阵进行数值评估的方法。

可对角化矩阵
如果矩阵是对角的：

:A=\begin{bmatrix} a_1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & a_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & a_n \end{bmatrix}

则把主对角线上的所有元素取指数，就是原矩阵的指数：

:e^A=\begin{bmatrix} e^{a_1} & 0 & \ldots & 0 \\
0 & e^{a_2} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & e^{a_n} \end{bmatrix}

这也允许了我们计算可对角化矩阵的指数。如果A = UDU^{-1} ，且D是对角矩阵，则e^A = U e^D U^{-1}。用西尔维斯特公式，也可以得到相同的结果。

幂零矩阵
如果对于某个整数q，有Nq = 0，则矩阵N称为幂零矩阵。在这种情况下，矩阵指数eN可以直接从级数展开式来计算，这是因为级数在有限个项后就终止了：

:e^N = I + N + \frac{1}{2}N^2 + \frac{1}{6}N^3 + \cdots + \frac{1}{(q-1)!}N^{q-1}

推广
当矩阵X的最小多项式可以分解为一次多项式的积时，它就可以表示为以下的和：
:X = A + N \
其中：
*A是可对角化矩阵；
*N是幂零矩阵；
*A与N是可交换的（也就是说， AN = NA）。
这称为Dunford分解。

这就是说，我们可以通过化为前两种情况，来计算X的指数：
:e^X = e^{A+N} = e^A e^N \
注意为了让最后一步成立， A和N必须是可交换的。

另外一个密切相关的方法，是利用X的若尔当标准型。假设X = PJP −1，其中J是X的若尔当标准型。那么：

:e^{X}=Pe^{J}P^{-1} \

另外，由于

: J=J_{a_1}(\lambda_1)\oplus J_{a_2}(\lambda_2)\oplus\cdots\oplus J_{a_n}(\lambda_n)

:
\begin{align}
e^{J} & {} = \exp \big( J_{a_1}(\lambda_1)\oplus J_{a_2}(\lambda_2)\oplus\cdots\oplus J_{a_n}(\lambda_n) \big) \\
& {} = \exp \big( J_{a_1}(\lambda_1) \big) \oplus \exp \big( J_{a_2}(\lambda_2) \big) \oplus\cdots\oplus \exp \big( J_{a_k}(\lambda_k) \big)
\end{align}

因此，我们只需要知道怎样计算若尔当块的矩阵指数。但是，每一个若尔当块都具有形式
:J_{a}(\lambda) = \lambda I + N \
其中N是幂零矩阵。则这个区块的矩阵指数由下式给出：
:e^{\lambda I + N} = e^{\lambda}e^N \

计算
假设我们想要计算以下矩阵的指数。

: B=\begin{bmatrix}
21 & 17 & 6 \\
-5 & -1 & -6 \\
4 & 4 & 16 \end{bmatrix}

它的若尔当型为：

: J = P^{-1}BP = \begin{bmatrix}
4 & 0 & 0 \\
0 & 16 & 1 \\
0 & 0 & 16 \end{bmatrix}

其中矩阵P由下式给出：

: P=\begin{bmatrix}
-\frac14 & 2 & \frac54 \\
\frac14 & -2 & -\frac14 \\
0 & 4 & 0 \end{bmatrix}

我们首先来计算exp(J)。我们有：

: J=J_1(4)\oplus J_2(16)

1×1矩阵的指数仅仅是该矩阵的元素的指数，因此exp(J1(4)) = [e4]。J_2(16)的指数可以用以上提到的公式exp(λI+N) = eλ exp(N)来算出：

: \exp \left( \begin{bmatrix} 16 & 1 \\ 0 & 16 \end{bmatrix} \right)
= e^{16} \exp \left( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \right)
= e^{16} \left(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + {1 \over 2!}\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + \cdots \right)
= \begin{bmatrix} e^{16} & e^{16} \\ 0 & e^{16} \end{bmatrix}

因此，原矩阵B的指数为：

: \exp(B)
= P \exp(J) P^{-1}
= P \begin{bmatrix} e^4 & 0 & 0 \\ 0 & e^{16} & e^{16} \\ 0 & 0 & e^{16} \end{bmatrix} P^{-1}
= {1\over 4} \begin{bmatrix}
13e^{16} - e^4 & 13e^{16} - 5e^4 & 2e^{16} - 2e^4 \\
-9e^{16} + e^4 & -9e^{16} + 5e^4 & -2e^{16} + 2e^4 \\
16e^{16} & 16e^{16} & 4e^{16}
\end{bmatrix}

应用
线性微分方程
矩阵指数在解线性微分方程时十分有用。前面曾提到，以下形式的微分方程

: \mathbf{y}' = C\mathbf{y}

具有解eCty(0)。如果我们考虑以下向量

: \mathbf{y}(t) = \begin{bmatrix} y_1(t) \\ \vdots \\y_n(t) \end{bmatrix}

我们就可以把线性微分方程表示为：

: \mathbf{y}'(t) = A\mathbf{y}(t)+\mathbf{b}(t)

如果我们作一个猜想，把两边乘以一个积分因子 e−At，便得到：

: e^{-At}\mathbf{y}'-e^{-At}A\mathbf{y} = e^{-At}\mathbf{b}
: \frac{d}{dt} (e^{-At}\mathbf{y}) = e^{-At}\mathbf{b}

如果我们可以计算eAt，那么就得到了微分方程的解。

例子（齐次）
假设我们有以下的微分方程组：

:\begin{matrix}
x' &=& 2x&-y&+z \\
y' &=& &3y&-1z \\
z' &=& 2x&+y&+3z \end{matrix}

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