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史密斯标准形

Wikipedia · 2026-01-28 维基百科 👁 1 阅读

数学中，史密斯标准形（SNF）是适用于所有元素都位于主理想域（PID）的矩阵的标准形（不必是方阵）。史密斯标准形是对角矩阵，可以从原始矩阵左右乘可逆方阵得到。特别地，整数构成一个PID，所以总可以计算出任何整数矩阵的史密斯标准形。史密斯标准形对于处理PID上的有限生成模，尤其是推导自由模之商的结构时非常有用。史密斯标准形得名于爱尔兰数学家Henry John Stephen Smith。

定义
令A为主理想域R上的非零m×n矩阵。存在可逆m \times m、n \times n方阵S, T（系数在R中），使得它们的积S A T为

\begin{pmatrix}
\alpha_1 & 0 & 0 & & \cdots & & 0 \\
0 & \alpha_2 & 0 & & \cdots & & 0 \\
0 & 0 & \ddots & & & & 0\\
\vdots & & & \alpha_r & & & \vdots \\
& & & & 0 & & \\
& & & & & \ddots & \\
0 & & & \cdots & & & 0
\end{pmatrix}.

对角元素\alpha_i满足\forall 1 \le i 。这就是矩阵A的史密斯标准形。元素\alpha_i在乘法意义上是唯一的，是可逆元，称为基本除子、不变量或不变因子。它们的计算公式为
: \alpha_i = \frac{d_i(A)}{d_{i-1}(A)},
其中d_i(A)（即第i个行列式因子）等于矩阵A 所有i\times i子式的行列式的最大公因数，且d_0(A):=1。

算法
第一个目标是找到可逆方阵S、T使得S A T为对角阵。这是算法中最难的部分。一旦实现了对角化，将矩阵转化为史密斯标准形就相对简单了。更抽象地说，我们的目标是证明A可以视为从R^n（秩为n的自由R-模）到R^m（秩为m的自由R-模）的映射，且有同构S:R^m \to R^m、T:R^n \to R^n，使得S \cdot A \cdot T具有对角矩阵的简单形式。S、T可用以下方法得到：从适当大小的单位阵开始，每次在算法中对A进行行运算时，都将相应的列运算施于S（例如，若A的i行加在j行上，则S的i列应减去j ，以保持乘积不变），同理，每次列运算都相应地修改T、由于行运算是左乘，列运算是右乘，这也就保持了A'=S'\cdot A\cdot T'不变，其中A',S',T'表示当前值，A表示原矩阵；最终，不变式中的矩阵变为对角阵。

对于a \in R\setminus \{0\}，记\delta(a)为a的素因子数（素因子存在且唯一，因为PID都是唯一分解整环） 。特别地，R也是贝祖环，因此是GCD环，任意两元素的gcd满足贝祖等式。

要将矩阵转为史密斯标准形，可以重复应用下面的公式，其中t从1到m循环。

第一步：选择主元
择j_t为A中非零元所在的最小列数，若t> 1则从第j_{t-1}+1列开始搜索。

我们希望a_{t,j_t}\neq0；若是这种情况，这步就完成了。否则，根据假设，存在某个k，使a_{k,j_t} \neq 0，且我们可以交换t行与k行，得到a_{t,j_t}\neq0。

现在我们选择的主元位于(t, j_t)。

第二步：改进主元
若(k,jt)上有元素使a_{t,j_t} \nmid a_{k,j_t}，则令\beta =\gcd\left(a_{t,j_t}, a_{k,j_t}\right)，根据贝祖性质我们知道R中存在σ、τ使

:
a_{t,j_t} \cdot \sigma + a_{k,j_t} \cdot \tau=\beta.

与适当的可逆阵L左乘，矩阵乘积的第t行是原矩阵第t行的σ倍与第k行的τ倍的和，乘积的第k行则是这些行的另一个线性组合，其他行则保持不变。若σ、τ满足上市，则对于\alpha=a_{t,j_t}/\beta和\gamma=a_{k,j_t}/\beta（根据β的定义，这样作商是可能的），可以得到

:
\sigma\cdot \alpha + \tau \cdot \gamma=1,

那么矩阵

: L_0=
\begin{pmatrix}
\sigma & \tau \\
-\gamma & \alpha \\
\end{pmatrix}

可逆，其逆为

:
\begin{pmatrix}
\alpha & -\tau \\
\gamma & \sigma \\
\end{pmatrix}
.

现在L可以通过将L_0放入单位阵的t~k行列来得到。根据构造，L左乘后得到的矩阵在(t,jt)的位置上有元素β（由于我们选择了α、γ，(k,jt)上也有元素0，虽然这对算法并不重要，但很有用）。这个新元素β除了原元素a_{t,j_t}，因此\delta(\beta) ；因此重复这些步骤最后必须终止。最终得到的矩阵的(t,jt)元素除以了jt列的所有元素。

第三步：消除元素
最后，加上第t行的适当倍数，可以使jt列中除(t,jt)外的所有元素都变为零。这也可以通过左乘适当的矩阵来实现。不过，为使矩阵完全对角，还需消除(t,jt)所在行上的非零元素，这可以通过对列重复第二步中的算法来实现，并与得到的矩阵L的转置右乘。一般来说，这会导致之前应用第三步时消除的元素再次变为非零。

注意，对行列每次应用第二步的算法都必须减少\delta(a_{t,j_t})的值，因此这一过程须在一定迭代次数后终止，使矩阵中(t,jt)元素是所在行列中的唯一非零元。

这时，只需对(t,jt)右下方的A块进行对角化，从概念上讲这个算法可以递归应用，将块视为单独的矩阵。换句话说，可以将t增加1，然后回到第一步。

最后一步
将上述步骤用于结果矩阵的剩余非零列（如果有的话），最后得到m \times n矩阵，列为j_1 ，其中r \le \min(m,n)。矩阵非零元只有(l,j_l)。

现在可以把空列向右移动，这样非零元就到了位置(i,i)(1 \le i\le r)。简而言之，设\alpha_i为(i,i)上的元素。

对角元的可除性条件可能不能满足。\forall i使\alpha_i\nmid\alpha_{i+1}，可以只对i、i+1行列进行操作来弥补这一缺陷：首先将第i+1列加到i列，以在第i列得到\alpha_{i+1}元素而不影响(i,i)位置上的元素\alpha_i，然后应用行运算使(i,i)元素等于\beta=\gcd(\alpha_i,\alpha_{i+1})，如第二步所述；最后按第三步方法，使矩阵再次对角化。由于(i+1,i+1)的新条目是原\alpha_i,\alpha_{i+1}的线性组合，所以可以被β除。

\delta(\alpha_1)+\cdots+\delta(\alpha_r)的值不会因为上述操作而改变（它是上r\times r子阵的行列式的δ），因此操作确实（通过向右移动因子）减小了

:\sum_{j=1}^r(r-j)\delta(\alpha_j).
所以，这算法只能应用有限次，意味着我们已经如愿得到了\alpha_1\mid\alpha_2\mid\cdots\mid\alpha_r。

由于所有行列运算都可逆，这就表明存在可逆方阵m \times m、n \times nS, T使乘积S A T满足史密斯标准形的定义。特别地，这表明史密斯标准形一定存在，无需证明。

应用
链复形的链模为有限生成模时，史密斯标准形对计算链复形的同调将十分有用。例如，拓扑学中，可用于计算整数上有限单纯复形或CW复形的同调，因为这种复形的边界映射的整数矩阵；还可用于确定主理想域上有限生成模结构定理中出现的不变因子，其中包括了有限生成阿贝尔群基本定理。

控制论中，史密斯标准形还用于计算传递函数矩阵的零点。

例子
求下列整数矩阵的史密斯标准形：

:
\begin{pmatrix}
2 & 4 & 4 \\
-6 & 6 & 12 \\
10 & 4 & 16
\end{pmatrix}

下面的矩阵是算法应用于上述矩阵的中间步骤。

:
\to
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
-6 & 18 & 24 \\
10 & -16 & -4
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 18 & 24 \\
0 & -16 & -4
\end{pmatrix}

:
\to
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 20 \\
0 & -16 & -4
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 20 \\
0 & 0 & 156
\end{pmatrix}

:
\to
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 156
\end{pmatrix}

所求史密斯标准形为

:
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 156
\end{pmatrix}

不变因子为2、2、156。

矩阵相似
史密斯标准形可用于判定元素属于同一域的两个矩阵是否相似。具体来说，当且仅当特征矩阵xI-A、xI-B有相同的史密斯标准形时，A、B相似。

例如
:
\begin{align}
A & {} =\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
0 & 1
\end{bmatrix}, & & \mbox{SNF}(xI-A) =\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & (x-1)^2
\end{bmatrix} \\
B & {} =\begin{bmatrix}
3 & -4 \\
1 & -1
\end{bmatrix}, & & \mbox{SNF}(xI-B) =\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & (x-1)^2
\end{bmatrix} \\
C & {} =\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
1 & 2
\end{bmatrix}, & & \mbox{SNF}(xI-C) =\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & (x-1)(x-2)
\end{bmatrix}.
\end{align}

A、B相似是因为它们特征矩阵的史密斯标准形相同，而与C不相似，因为它们特征矩阵的史密斯标准形不同。

另见

  • 规范形
  • 丢番图方程
  • 弗罗贝尼乌斯标准形（也称为有理规范形）
  • 埃尔米特标准形
  • 奇异值分解

注释
参考文献

*
*

外部链接

#矩阵论

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