交叉格拉姆矩陣

交叉格拉姆矩陣（cross Gramian）是控制理论中的名詞，會用W_X或W_{CO}來表示，是用來判斷線性系統可控制性及可觀測性的格拉姆矩阵。

針對線性的时不变線性系統

:\dot{x} = A x + B u \,
:y = C x \,

其交叉格拉姆矩陣定義為：

:W_X := \int_0^\infty e^{At} BC e^{At} dt \,

也是以下西爾維斯特方程的解：

:A W_X + W_X A = -BC \,

三數組(A,B,C)有可控制性及可觀測性若且唯若W_X為非奇异方阵（也就是說，針對任意時間t > 0，W_X都有滿秩）。

若對應系統(A,B,C)是對稱的，也就是存在轉換矩陣J使下式成立

:AJ = JA^T \,
:B = JC^T \,

則交叉格拉姆矩陣的特征值绝对值會等於漢克爾奇異值：

:|\lambda(W_X)| = \sqrt{\lambda(W_C W_O)}. \,

因此交叉格拉姆矩陣的奇异值分解的直接截斷會允許。

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參考資料