在数学中，朗斯基行列式（Wronskian）名自波兰数学家約瑟夫·瑪麗亞·何內-朗斯基，是用于计算微分方程的解空间的函数。
对于给定的 n 个n-1 次连续可微函数，f1、...、fn，它们的朗斯基行列式 W(f1, ..., fn) 为：
:
W(f_1, \ldots, f_n) =
\begin{vmatrix}
f_1 & f_2 & \cdots & f_n \\
f_1' & f_2' & \cdots & f_n' \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^{(n-1)} & f_2^{(n-1)} & \cdots & f_n^{(n-1)}
\end{vmatrix}
行列式的第 i 列是f1、...、fn 各函数的 i-1 次导数。组成这个行列式的 n 阶方阵也称作这 n 个函数的基本矩阵。
在解线性微分方程时，朗斯基行列式可以用阿贝尔恒等式来计算。
朗斯基行列式与线性无关解
朗斯基行列式可以用来确定一组函数在给定区间上的线性相关性。
对于 n 个n-1 次连续可微函数 f1、...、fn，它们的朗斯基行列式 W(f1, ..., fn) :
:
W(f_1, \ldots, f_n) =
\begin{vmatrix}
f_1 & f_2 & \cdots & f_n \\
f_1' & f_2' & \cdots & f_n' \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^{(n-1)} & f_2^{(n-1)} & \cdots & f_n^{(n-1)}
\end{vmatrix}
定理：
:如果 f1、...、fn 在一個區間 [a, b] 上線性相關，則 W(f1, ..., fn) 在區間 [a, b] 上恆等於零。
也就是说，如果在某些点上 W(f1, ..., fn) 不等于零，则 f1、...、fn 线性无关
注意，若 W(f1, ..., fn) 在区间 [a,b] 上恒等于零，函数组不一定线性相关。
齐次线性微分方程
考虑 n 阶线性微分方程：
: \frac{d^{n} x}{dt^{n}} + a_1(t) \frac{d^{n-1} x}{dt^{n-1}} + \cdots + a_{n-1}(t) \frac{dx}{dt} +a_n(t)x= f(t) \qquad \qquad \qquad (1)
其中 a_1(t), \ a_2(t), \ \cdots , \ a_n(t) , \ f(t) 是区间 [a,b] 上的连续函数。并考虑f(t) = 0 ，即 n 阶齐次线性微分方程的情形：
: \frac{d^{n} x}{dt^{n}} + a_1(t) \frac{d^{n-1} x}{dt^{n-1}} + \cdots + a_{n-1}(t) \frac{dx}{dt} +a_n(t)x= 0 \qquad \qquad \qquad \quad (2)
对于一组给定的初始值：
: x(0) = x_0 , \ \frac{dx}{dt}(0) = x_1 , \ \cdots , \ \frac{d^{n-1} x}{dt^{n-1}}(0) = x_{n-1}
方程 (1) 有唯一解 x= \phi (t) 。如果初始值不定的话，(2) 的任一解加上 x= \phi (t) 仍然是 (1) 的解。而对于 (2) ，任意k个 (2) 的解的和仍然是 (2) 的解，因此 (2) 的解集构成一个线性空间，称为 (2) 的解空间。
定理的证明
如果 f1、...、fn 在一个区间 [a,b] 上线性相关，则存在不全为零的系数 c_1, \ c_2 \ \cdots , \ c_n 使得对区间 [a,b] 上的任意 t，
:c_1 f_1(t)+c_2 f_2(t) + \cdots c_n f_n(t)=0
因为“微分”是线性算子，所以这个等式可以“延伸”到n-1阶导数。故有以下方程组：
:\begin{cases} c_1 f_1(t)+c_2 f_2(t) + \cdots c_n f_n(t)=0 \\ c_1 f_1'(t)+c_2 f_2'(t) + \cdots c_n f_n'(t)=0 \\ \ldots \\c_1 f_1^{(n-1)}(t)+c_2 f_2^{(n-1)}(t) + \cdots c_n f_n^{(n-1)}(t)=0 \end{cases}
将 c_1, \ c_2 \ \cdots , \ c_n 看作变量，则上式变为一个 n 元齐次线性方程组，由于这个方程有非零解，系数矩阵的行列式 W(f1, ..., fn) = 0。
进一步可以证明， W(f1, ..., fn) 要么在区间 [a,b] 上恒等于零，要么处处不为零（没有零根）。于是可以证明 (2) 有 n 个线性无关的解，并且它们线性张成的空间就是 (2) 的解空间。所以， (2) 的解空间是一个 n 维线性空间。 (2) 一组 n 个线性无关的解称作它的一个基本解组。
例子
- 考虑三个函数：1、x和x2，在任意一个区间上，他们的朗斯基行列式是：
::
W =
\begin{vmatrix}
x^2 & x & 1 \\
2x & 1 & 0 \\
2 & 0 & 0
\end{vmatrix}
= -2.
不等于零，因此，这三个函数在任一个区间上都是线性无关的。
2.考虑另三个函数：1、x2和2x2+3，在任意一个区间上，他们的朗斯基行列式是：
::
W =
\begin{vmatrix}
2x^2 + 3 & x^2 & 1 \\
4x & 2x & 0 \\
4 & 2 & 0
\end{vmatrix}
= 8x-8x = 0.
事实上三者线性相关。
3.上面已经提到，朗斯基行列式等于零的函数组不一定线性相关。下面是一个反例：考虑两个函数，x3和|x3|，即x3的绝对值。计算两者的朗斯基行列式
::
W = \left\{
\begin{matrix}
\begin{vmatrix}
x^3 & -x^3 \\
3x^2 & -3x^2
\end{vmatrix}
= -3x^5 + 3x^5 = 0, x
他们的朗斯基行列式恒等于零，但两者显然线性无关。
参考
*微分方程
*行列式
*线性方程组
外部链接
- [http://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/wronskian.aspx Paul's Online Math Notes，更多的例子。（英文）]
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