餘因子矩陣

在線性代數中，餘因子是一種關於方陣之逆及其行列式的建構，餘因子矩陣的項是帶適當符號的子行列式。

定義
對一個 n \times n 矩陣 A，在 (i,j) 的子行列式（余子式） M_{ij} 定義為刪掉 A 的第 i 橫-{zh-hans:行;zh-hant:列}-與第 j 縱-{zh-hant:行;zh-hans:列}-後得到的行列式。令 C_{ij} := (-1)^{i+j} M_{ij}，稱為 A 在 (i,j) 的餘因子（代数余子式）。矩陣 \mathrm{cof}(A) := (C_{ij})_{i,j} 稱作 A 的餘因子矩陣（余子矩阵）。餘因子矩陣的轉置稱為伴隨矩陣，記為 \mathrm{adj}(A)。

範例
考慮三階方陣
:B = \begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33} \\
\end{bmatrix}

今將計算餘因子 C_{23}。子行列式 M_{23} 是下述矩陣（在 B 中去掉第 2 橫行與第 3 縱列）之行列式：
: M_{23} = \begin{vmatrix}
b_{11} & b_{12} & \Box \\
\Box & \Box & \Box \\
b_{31} & b_{32} & \Box \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{31} & b_{32} \\
\end{vmatrix} = b_{11}b_{32} - b_{31}b_{12}

根據定義得到
:\ C_{23} = (-1)^{2+3}(M_{23})
:\ C_{23} = (-1)^{5}(b_{11}b_{32} - b_{31}b_{12})
:\ C_{23} = b_{31}b_{12} - b_{11}b_{32}.

餘因子分解
對一 n\times n 矩陣：
: A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}

其行列式 \det A 可以用餘因子表示：
:\ \det(A) = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + a_{3j}C_{3j} + ... + a_{nj}C_{nj}
:（對第 j 縱行的餘因子分解）

:\ \det(A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} + ... + a_{in}C_{in}
:（對第 i 橫列的餘因子分解）

古典伴隨矩陣
「古典伴隨矩陣」(classical adjoint matrix) 是餘因子矩陣的「轉置矩陣」，它與逆矩陣的計算有極大的關係。

:A^{-1} = \frac{\mathrm{adj}(A)}{\det(A)}

將餘因子矩陣

: \begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\
C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn}
\end{bmatrix}

轉置之後，會得到「古典伴隨矩陣」：

: \mathrm{adj}(A) = \begin{bmatrix}
C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\
C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn}
\end{bmatrix}

克萊姆法則
克萊姆法則可以用餘因子寫成下述簡鍊的形式：
: \mathrm{cof}(A)^t A = A\mathrm{cof}(A)^t = \det(A) I_n

當 \det A \neq 0 時，A 的逆矩陣由下式給出：
: A^{-1} = \dfrac{\mathrm{cof}(A)^t}{\det A}

此即線性方程組理論中的克萊姆法則。

文獻

• Anton, Howard and Chris, Rorres, Elementary Linear Algebra, 9th edition (2005), John Wiley and Sons. ISBN 0-471-66959-8

外部連結

• [https://web.archive.org/web/20080105104326/http://video.google.com/videoplay?docid=-5641257495120579764 MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors] at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• [https://web.archive.org/web/20120408004640/http://planetmath.org/encyclopedia/Cofactor.html PlanetMath]

Comatrice#Cofacteur