在线性代数中，一個n \times n的矩陣\mathbf{A}的跡（或跡數），是指\mathbf{A}的主對角線（從左上方至右下方的對角線）上各個元素的總和，一般記作\operatorname{tr}(\mathbf{A})或\operatorname{Sp}(\mathbf{A})：
:\operatorname{tr}(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^n \mathbf{A}_{i, i} = \mathbf{A}_{1, 1} + \mathbf{A}_{2, 2} + \cdots + \mathbf{A}_{n, n}
其中\mathbf{A}_{i, j}代表矩陣的第i行j列上的元素的值。一個矩陣的跡是其特徵值的總和（按代數重數計算）。
跡的英文為，是來自德文中的這個單字（與英文中的是同源詞），在數學中，通常簡寫為「Sp」或「tr」。
例子
設有矩陣：
\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 1\\0 & 9 & 2\\7 & 6 & 4 \end{bmatrix}
它的跡是：
\operatorname{tr}(\mathbf{A}) = \operatorname{tr} \begin{bmatrix} 3 & 5 & 1\\0 & 9 & 2\\7 & 6 & 4 \end{bmatrix} = 3 + 9 + 4 = 16
性質
线性函数
給定一個環\mathbb{R}，跡是一個從係數在環中的n \times n矩陣的空間\mathcal{M}_n(\mathbb{R})射到環\mathbb{R}之上的線性算子。也就是說，對於任兩個n \times n的矩陣\mathbf{A}、\mathbf{B}和純量r，都有：
:\mathrm{tr}(\mathbf{A} + \mathbf{B}) = \mathrm{tr}(\mathbf{A}) + \mathrm{tr}(\mathbf{B})
: \mathrm{tr}(r \cdot \mathbf{A} ) = r \cdot \mathrm{tr}(\mathbf{A})
更進一步來說，當\mathbb{R}是一個域時，跡數函數\mathrm{tr}是n \times n矩陣的空間\mathcal{M}_n(\mathbb{R})上的一個線性泛函。
由於一個矩陣\mathbf{A}的轉置矩陣\mathbf{A}^T的主對角線元素和原來矩陣的主對角線元素是一樣的，所以任意一個矩陣和其轉置矩陣都會有相同的跡
但是要注意：
: \mathrm{tr}(\mathbf{ABC} ) \neq \mathrm{tr}(\mathbf{ACB}) 。
\mathrm{tr}( \mathbf{A}) = \alpha_1 r_1 + \alpha_2 r_2 + \cdots + \alpha_k r_k
如果将矩阵写成它的若尔当标准型的话，也可以看出这一点，因为若尔当标准型的特征多项式的所有的根（包括重根）就是对角线上的所有元素。
如果不区分相同或不同的特征值的话，上述关系也可以写成：
\mathrm{tr}( \mathbf{A}) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n
其中的\lambda_1,\lambda_2 \cdots \lambda_n是矩阵的特征值。
而且有：
\forall m \in \mathbb{N}, \mathrm{tr}( \mathbf{A}^m) = \lambda_1^m + \lambda_2^m + \cdots + \lambda_n^m
線性映射的跡數
設系数域为\mathbb{K}的\mathbb{V}是一個有限維的向量空間，維數是n。給定任一線性映射f : \mathbb{V}\rightarrow \mathbb{V}，可以定義此一映射的跡數為其变换矩阵的跡，即選定\mathbb{V}的一個基底並用對應於此基底的一個方形矩陣描述f，再定義這個方形矩陣的跡數為f的跡數。這個定義下f的跡數和所選取的基無關：只需要注意到不同的基底的選取實際上等價於對變換矩陣做一次相似變換，而兩個相似的矩陣的跡數是一樣的。因此這樣的定義是自洽的。
另外一种定义涉及到行列式的性质。考虑\mathbb{V}的一个基底\mathcal{B} = (e_1, e_2, \cdots , e_n)，以及函数：
Sp : \; \; \; \quad \mathbb{V}^n \qquad \; \quad \longrightarrow \quad \qquad \qquad \qquad \mathbb{K} \qquad \qquad \qquad,
Sp :(x_1, x_2, \cdots , x_n) \longmapsto \sum_{i=1}^n \det(x_1, x_2, \cdots , f(x_i),\cdots ,x_n)
根据行列式理论，这个函数也是一个行列式型的函数，也就是说存在一个只取决于f的量\mathrm{Sp} (f)，使得
Sp(x_1, x_2, \cdots , x_n) = \mathrm{Sp} (f) \cdot \det(x_1, x_2,\cdots ,x_n)
可以证明，这个纯量\mathrm{Sp} (f)就等于之前定义的f的跡數。
迹的梯度
由迹的定义可知迹可以看作是矩阵的实标量函数，所以我们可以通过求实标量函数的梯度来求迹的梯度。
单个矩阵
*A是m×m矩阵时，有\frac { \partial \mathrm{tr}(\mathbf{A}) }{ \partial \mathbf{A} } ={ \mathbf{I} }_{ m }
*m×m矩阵A可逆时，有\frac { \partial \mathrm{tr}(\mathbf{A}^{-1}) }{ \partial \mathbf{A} } =-( \mathbf{A}^{-2} )^T
*对于两个向量x和y的外积，有\frac { \partial \mathrm{tr}(\boldsymbol{xy}^T) }{ \partial \boldsymbol{x} }=\frac { \partial \mathrm{tr}(\boldsymbol{yx}^T) }{ \partial \boldsymbol{x} } =\boldsymbol{y}
两个矩阵
*若A为m×n矩阵，有\frac { \partial \mathrm{tr}(\mathbf{A}\mathbf{A}^T) }{ \partial \mathbf{A} }=\frac { \partial \mathrm{tr}(\mathbf{A}^T\mathbf{A}) }{ \partial \mathbf{A} } =2\mathbf{A}
*若A为m×m矩阵，有\frac { \partial \mathrm{tr}(\mathbf{A}^2) }{ \partial \mathbf{A} }=\frac { \partial \mathrm{tr}(\mathbf{A}\mathbf{A}) }{ \partial \mathbf{A} } =2\mathbf{A}^T
*若A为m×n矩阵，B是m×n矩阵，有\frac { \partial \mathrm{tr}(\mathbf{A}^T\mathbf{B}) }{ \partial \mathbf{A} }=\frac { \partial \mathrm{tr}(\mathbf{B}\mathbf{A}^T) }{ \partial \mathbf{A} } =\mathbf{B}
*若A为m×n矩阵，B是n×m矩阵，有\frac { \partial \mathrm{tr}(\mathbf{A}\mathbf{B}) }{ \partial \mathbf{A} }=\frac { \partial \mathrm{tr}(\mathbf{B}\mathbf{A}) }{ \partial \mathbf{A} } =\mathbf{B}^T
*当A和B均为对称矩阵时，有\frac { \partial \mathrm{tr}(\mathbf{A}\mathbf{B}) }{ \partial \mathbf{A} }=\frac { \partial \mathrm{tr}(\mathbf{B}\mathbf{A}) }{ \partial \mathbf{A} } =\mathbf{B}+\mathbf{B}^T-diag(\mathbf{B})
*若A和B都是m×m矩阵，并且A是非奇异矩阵，有\frac { \partial \mathrm{tr}(\mathbf{B}\mathbf{A}^{-1}) }{ \partial \mathbf{A} }=-(\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}^T\mathbf{A}^{-1})^T
參見
*行列式
*若尔当标准型
*对角矩阵
*三角矩阵
*特征多项式
参考来源
参考书籍
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