乘法是四则运算之一。乘法运算的本质，就是​​“同类累加的简写形式​​”。

例如：
:a\times b = \underbrace{b + \cdots + b}_{a \text{ 个 b}} .

a 和 b 都是本式的因数（或称约数），其運算結果稱為積。

a\times b可以唸作「a 乘 b」或「a 乘以 b」。唸作「a 乘 b」时 a 是乘数，b 是被乘数，即“a个b”。唸作「a 乘以 b」则相反，表示“a的b倍”。这种双意并非中文或者英文特有。乘数和被乘数的交替并不会影响乘法的结果。

乘法运算亦有其它形象理解：对于整数乘法，可表现为将对象排列成矩形陣列；对于实数乘法，则可解释为计算矩形面积。同样地，运算结果不受边长测量顺序的影响。

在乘法基本概念的基础上，序列乘积、向量乘法、复数及矩阵运算等均对其进行了概念扩展。这些更高级的数学结构会以各自方式影响乘法的基本性质——例如矩阵乘法和某些向量乘法会呈现非交换性，复数乘法则会改变复数的符号。

引言
首先，进入正题前，我们不妨来看两个生活中的例子：
*买5个单价为3圆的冰激凌：由5\times 3 = 15可得，需要支付15圆。
*要搭一个3层高、每层4块积木的小塔：由3\times 4 = 12可得，需要12块积木。
其次，数学和物理存在许多“累加关系”：
*已知匀速直线运动状态下，某物体行进速度为 v ，所用时间为 t ，可得累计距离 d=v\times t ；
*已知一个物体的密度为 \rho （假设密度均匀），体积为 V ，可得其质-{量}- m = \rho \times V ；
......

可见，在数学，尤其是在基本算术中，乘法是​​加法的“快捷版”​​。

定义
基本定义
乘法运算，指通过特定法则将两个或多个数结合生成积的运算过程。其核心内涵包括：

同类累加的简写形式：表示将相同值的数进行连续叠加的运算（如 3\times 4 = 4 + 4 + 4 = 12 ）

比例关系的量化表达：当乘数非整数时，可表示为原数的分数（小数）倍（如 3\times 0.5 表示 3 的一半，4\times \dfrac1{3} 表示 4 的三分之一）

維度扩展的数学工具：在几何学中，用于计算面积（长 \times 宽）、体积（长 \times 宽 \times 高）等空间度量

符号与表示
乘法可以用幾種方法表示。以下的式子表示“五乘以二”：

• 5 \times 2
• 5 \cdot 2
• 5 * 2
• (5)(2)

古代常用的方法是將兩個數並排，沒有甚麼特別的符號來表示乘法。

以「\times」表示乘法，是由奥特雷德于1618年最先引入，也是現在最流行的寫法。在電腦领域，也有為方便鍵盤輸入而以小寫英文字母「x」替代「×」。

以「\cdot」表示乘法，如今已成为美国、德國、法國等國家的标准。其最早由托马斯·哈里奥特于1631年出版的著作使用，但令這种用法影响深远的人是萊布尼茲。

因為星號「*」是鍵盤必備的符號，電腦常用其表示乘號，这种用法起源于FORTRAN语言。

代数中，为方便书写，乘號常被略去（如 5x 和 xy ）。但如果變數多於一個字母，则易令人混淆。同时如果只有數字，乘号则不应略去，如 5 \times 2 不會表示成 52 。

累乘则用大写希臘字母 \Pi（Pi）表示：
: \prod_{i=m}^{n} x_{i} := x_{m} \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \ldots \cdot x_{n-1} \cdot x_{n}

性质
乘法运算的数学性质在不同定义和數系下具有多样性，以下是主要分类及详细说明。

基本运算律

交換律：xy = yx

結合律：(xy)z = x(yz)

分配律：x(y + z) = xy + xz

单位元、零元与逆元性质

乘法單位律：任何数乘以 1 ，都會等於該數本身，即1x = x。此律可扩展至多項式中的常数项。

零元性质：任何數乘以 0 ，即是甚麼也沒做過，結果为零，即0x = 0。同样地，多个因數中若含 0 ，积必为 0 。

逆元性质：非零数 a 的逆元（亦为其倒数）为 \dfrac 1{a} ，满足 a\times \dfrac 1{a} = 1 。

特殊数系下的性质
实数与复数除法

满足交换律、结合律、分配律。

复数乘法涉及模长和辐角的变化。

矩阵乘法

满足结合律和分配律，但​​不满足交换律，特殊矩阵（如對角矩陣）除外。

对零矩陣：所有元素为 0 的矩阵，与任意矩阵相乘结果为零矩阵。

模运算
在模 n 下，乘法逆元存在当且仅当数与 n 互質（如模质数时所有非零数均有逆元）。

不同的乘法运算
两个数的乘法运算或积（这两个数可以是自然数、整数、分数、实数、复数、四元数等）的数学定义，相似而又各有特性。

自然数乘法
兩個自然數 m,n\in\mathbb{N} ，其乘積为：

:mn = nm = \sum_{k=1}^n m = \sum_{k=1}^m n
這是将该整数自身重复相加若干次的簡写法。换言之：

:mn = nm = \underbrace{m+m+m+ \cdots +m}_{n\text {个 m}} = \underbrace{n+n+n+ \cdots +n}_{m\text {个 n}}

长远来看，将乘法视为重复加法并不高效。因此，数学家归纳了从 1 到 9 的乘法结果，即九九乘法表。

多个自然数相乘时，我们使用括号标明运算顺序。为避免过多括号，规定以下优先级规则：乘法始终优先于加法。例如在表达式 4 + 5\times 2 中，应理解为 4 + (5\times 2) = 4+10=14 ，而非 (4+5)\times 2 = 9\times 2 = 18 。

當x是量，y是自然數时，定義乘法递归如下：
:0x = 0
:xy = x + x(y - 1)

整数乘法
的蓝色区域表示乘积为正，红色区域表示乘积为负。]]
上表示整数乘法时，可借助向量的方向与长度直观理解]]
整数乘法推广自然数乘法至负数，符号规则为：同号得正，异号得负，绝对值相乘。

分数（小数）乘法
两个分數 \frac{z}{n},\frac{z'}{n'} 作乘法运算时，分子与分子相乘，分母与分母相乘：
: \frac{z}{n} \cdot \frac{z'}{n'} = \frac{z\cdot z'}{n\cdot n'}

当且仅当 n,n'\neq 0 时成立。

两个小数作乘法运算时，可利用乘法交换律的特性进行计算。

例如，计算 43.1 乘以 1.215 时：
: \begin{align} 43.1 \times 1.215&= \left(431\times \frac 1{10}\right) \times \left(1\;215\times \frac 1{1\;000}\right)\\
&= (431 \times 1\;215) \times \left(\frac1{10}\times \frac1{1\;000}\right)\\
&= (431 \times 1\;215) \times \frac1{10\;000}\\
&= \frac {523\;665}{10\;000}\\
&= 52.3665\end{align}

可见，两个小数作乘法运算时，先忽略小數點，计算两数小数点后数字的位数之和，将两数视为整数相乘，最后在结果中从右往左数出与总位数相同的位数，并放置小数点。

又如，计算 3.15 乘以 1.2 时：

先计算整数部分相乘： 315\times 12 = 3780

再将小数点向左移动 3 位：3780 \Rightarrow 3.780（末尾的 0 可省略，写作 3.78）

实数乘法
实数乘法是前文乘法的推广，性质也相同。其核心在于：每个实数都是某有理数集的上确界。特别地，每个正实数是其无限小数展开式截断序列的上确界，例如 \pi 是集合 \{3,\; 3.1,\; 3.14,\; 3.141,\ldots\} 的上确界。

实数的一个基本性质是：有理逼近与算术运算（特别是乘法）相容。这意味着，若正实数 a 和 b 分别表示为集合 A 和 B 的上确界（即 a=\sup_{x\in A} x ， b=\sup_{y\in B} y ），则两数乘积 a\cdot b 等于所有 x\in A 与 y\in B 的乘积项的上确界（即 a\cdot b=\sup_{x\in A, y\in B}x\cdot y ）。具体而言，两个正实数的乘积等于其十进制展开式逐项积序列的上确界。

对于涉及负实数的乘法运算，可通过符号法则简化处理：正负号的变化将上确界转化为下确界。很多人都通过柯西序列构造实数，因为这种方法无需考虑四种可能的符号组合情况，从而简化了运算规则的推导过程。

复数乘法
复数乘法可通过分配律和虚数单位性质 i^2=-1 进行运算。具体地，两个复数 (a + b\, i) 与 (c + d\, i) 作乘法运算时，展开过程为：
:\begin{align}
(a + b\, i) \cdot (c + d\, i)
&= a \cdot c + a \cdot d\, i + b \, i \cdot c + b \cdot d \cdot i^2\\
&= (a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) \, i
\end{align}

其中 i^2 替换为 -1 后，实部与虚部分别合并。

表示复数]]

从几何视角理解，复数可表示为极坐标形式：
:a + b\, i = r \cdot ( \cos(\varphi) + i \sin(\varphi) ) = r \cdot e ^{ i \varphi}
:c + d\, i = s \cdot ( \cos(\psi) + i\sin(\psi) ) = s \cdot e^{i\psi}

此时，复数乘法可转化为模长与辐角的运算：
:(a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi + \psi)}.

其几何意义在于模长相乘（ r\cdot s ）、辐角相加（ \varphi + \psi ）。

四元数乘法
基于集合论的乘法
非负整数的乘法可通过集合论中的基数概念或皮亚诺公理进行定义。基数理论通过集合的势（即集合元素的数量）定义乘法，例如，两个有限集合的笛卡儿积的势等于各自势的乘积。而皮亚诺公理体系则通过自然数的递归定义实现乘法运算：设非负整数表示为自然数，其乘法可归纳定义为：

• 基例​​：对任意非负整数 a ，有 a\times 0 = 0 ；
• 递推规则​​：对任意非负整数 a 、b ，有 a\times {(b+1)} = a\times b + a 。

此定义通过数学归纳法可证明满足乘法结合律、交换律等基本性质。

对于任意整数的乘法，需在自然数乘法基础上引入符号规则。例如，负整数乘法定义为：若 a 、b 为自然数，则 {(-a)}\times {(-b)} = a\times b ，而 {(-a)}\times b = -{(a\times b)} 。这一扩展保持了乘法运算的代数结构一致性。

有理数乘法则通过分数形式定义：若 \dfrac ab 与 \dfrac cd 为最简分数（ b 、d\neq 0 ），则其乘积为 \dfrac{ac}{bd} ，分母通过集合论中的笛卡尔积构造，分子通过自然数乘法定义。此过程需验证运算的封闭性与唯一性，例如通过交叉相乘消去公约数，确保结果仍为最简分数。

实数乘法的定义依赖于有理数乘法的完备性。通过戴德金分割或柯西序列构造实数时，乘法运算被定义为极限运算：若 \{a_n\} 和 \{b_n\} 为收敛的有理数序列，则实数乘积定义为 \lim (a_n\times b_n) 。此定义需满足乘法与极限运算的交换性，并通过 \epsilon - \delta 语言严格证明其合理性。

基于群论的乘法
在群论中，若一个集合在乘法运算下满足封闭性、结合律、存在单位元且每个元素均有逆元素，则称其构成群结构。这些公理构成了群的定义基础。

以非零有理数集为例，其乘法运算满足群的所有条件：单位元为1（不同于加法群的单位元0），每个非零有理数均存在乘法逆元，且乘法运算封闭（因为两个非零有理数相乘仍为非零有理数）。但需注意的是，零必须被排除，因其乘法逆元不存在。此例中的群为阿贝尔群，但群论中并非所有乘法群均为阿贝尔群。

考虑可逆方阵群：给定域上同维数的可逆矩阵集合，其乘法运算满足封闭性（矩阵相乘仍为同维可逆矩阵）、结合律、单位矩阵作为单位元，且每个矩阵均有逆矩阵。然而，矩阵乘法不满足交换律（如 {AB}\neq {BA} ），因此该群为非阿贝尔群。

即使排除零元素，整数集在乘法下也不构成群。原因在于除 1 和 -1 外，其他整数均无乘法逆元。这一特性凸显了乘法群对逆元存在与否的严格要求。

群的乘号通常表示为点乘（\cdot）或直接省略不写。在描述群时，点乘符号常用于明确运算，例如非零有理数乘法群可记为（ \mathbb{Q} \{0\}, \cdot ）。这种符号体系与加法群（如（ \mathbb{Z}, + ））形成对比，体现了运算类型的差异。

运算方法
历史上的算法
迄今为止发现的最早的乘法运算，是可追溯至旧石器时代初期的伊尚戈骨上的刻痕。划痕可能是计数符号，也可能只是为了方便抓握，或有其他非数学的目的。

古埃及人采用连续加倍法进行整数和分數的乘法运算，这一方法在《莱因德数学纸草书》中有详细记载。例如，计算 13\times 21 时，通过将21依次加倍三次得到42、84、168，再根据加倍序列中的对应项，得出 {(1 + 4 + 8)}\times 21 = 273 。

巴比伦人使用六十進制系统，其乘法运算与现代十进制类似，但因 60\times 60 = 3600 种组合过多，他们通过制作包含前20个基数倍數的乘法表（如 n, 2n, \ldots, 20n 及 30n, 40n, 50n ）来简化计算，如 53n 可通过 50n + 3n 的组合快速得出。

古希腊人以幾何圖形（如矩形）表示乘法，体现“乘积即面积”的思想。欧几里得更是在《几何原本》中用几何方法证明乘法分配律。

中国古代拥有史上最早、最详细的​​十进制位值制乘法规则，其首见于南北朝时期的孙子算经。孙子乘法的核心，是通过纵横排列的算筹模拟位值运算，如计算 49\times 36 时，先以算筹摆出 49 和 36 ，再按“九九表”逐位相乘并累加，终得 1764 。这种算法在9世纪传至中东，13世纪又译成拉丁文而流行于欧洲。至于九九乘法表​​，则在战国时期已成熟应用，其采用“小九九”形式，从“九九八十一”到“一一如一”，比古埃及的累加法效率提升数十倍。

阿拉伯穆斯林于9世纪引入印度數字和位值制，结合阿拉伯语符号形成计算体系，推动乘法运算标准化。而数学家花拉子米在接纳中国的孙子乘法後，在《代数学》中将乘法与方程系统化结合，提出“还原与对消”法，将乘法纳入代数运算框架，影响欧洲数学发展。

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印度古代的乘法运算亦有发展。7世纪，数学家婆羅摩笈多提出“交叉相乘法”，即 (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd ，简化多位数乘法步骤。例如计算 {123}\times {456} 时，通过分项相乘再求和，减少重复计算。12世纪，印度文献中出现类似中国古代“铺地锦”的图形化乘法，通过网格线段交叉点计数得出结果，后经阿拉伯传入欧洲。“納皮爾的骨頭”便是借鉴“铺地锦”的灵感产生的。

现代算法
现代基于印度-阿拉伯数字系统的乘法，最早同样由婆罗摩笈多系统阐述。他在7世纪著作《婆罗摩修正体系》中完整定义了加、减、乘、除四则运算的规则，其乘法体系包含多种算法，现代竖式乘法即源于此。此算法通过花拉子米的著作《印度数字算术》于9世纪初传入阿拉伯世界，其《代数学》系统整合了印度数字与运算规则。13世纪，意大利数学家斐波那契在《计算之书》中推广此法，最终使印度-阿拉伯数字系统取代罗马数字成为欧洲主流。

由于历史影响，華人小學生现在仍背誦九九乘法表來學習乘法。

关于電腦的特別算法，以及其它现代运算法，详見乘法算法。

其它算法
用手指算乘法
除了加法，在有限范围内，乘法也可以用手指完成。为此，两个因數需处于同一十位半区，也就是说，两者要么均以 1 至 5 结尾，要么均以 6 至 0 结尾。

对于因数以 1 至 5 结尾的情况：

首先为手指编号：从小指开始，依次标记为 10\cdot {(d-1)}+1 至拇指为 10\cdot {(d-1)}+5 （其中 d 表示对应数的十位，如第二位为 1 时，对应 11 至 15 ）；

对齐两个因数的手指後，数出下方手指总数（包括对齐的手指），将其乘以 d\cdot 10 ；

计算左右手下方手指（不包含对齐的手指）的乘积；

最后，加上常数项 {d^2}\cdot 100 ，结果即为所求。

对于因数以 6 至 0 结尾的情况：

类似地，从小指开始，依次标记为 10\cdot {(d-1)}+6 至拇指为 10\cdot d （其中 d 表示对应数的十位，如第二位为 1 时，对应 16 至 20 ）；

对齐两个因数的手指后，数出下方手指总数（包括对齐的手指），将其乘以 d\cdot 10 （同上）；

计算左右手上方手指（不包含对齐的手指）的乘积（同上）；

最后，加上常数项 d\cdot {(d-1)}\cdot 100 ，结果即为所求。

以 7\times 8 为例：
7 和 8 均以 6 至 0 结尾，而 d = 1 。对齐手指后，下方手指有 5 根，乘以 1\times 10 = 10 得 50 ；上方手指分别为 3 根和 2 根，积为 3\times 2 = 6 ；加法常数项 {(1-1)}\cdot 1\cdot 100 = 0，总和为 50 + 6 + 0 = 56 。

再如 24\times 22 ：
24 和 22 均以 1 至 5 结尾，而 d = 2 。对齐手指后，下方手指有 6 根，乘以 2\times 10 = 20 得到 120 ；下方手指分别为 4 根和 2 根，积为 4\times 2 = 8 ；加法常数项 {2^2}\cdot 100 = 400 ，总和为 120 + 8 + 400 = 528 。

此方法尤其适用于快速心算平方数。对于不同十位或十位半区的因数，可通过分解为和的形式（如 {(a+x)}\cdot {(a+y)} ）应用该技巧。其数学原理基于多项式展开：
: (a+x) \cdot (a+y) = a^2 + (x+y) \cdot a + x \cdot y

尺规作图法
从相交弦定理出发的尺规法
算乘法]]
如图1所示，过点 O 作一直线，分别在 O 点两侧截取长度为 a 和 b 的线段，得点 A 和 B 。再从 O 出发，沿另一方向作射线，截取单位长度 1 ，得点 E 。过 A 、B 、E 三点作外接圓，该圆与第二条射线的交点 C 满足相交弦定理：
:a\cdot b = \overline{OA} \cdot \overline{OB} = \underbrace{\overline{OE}}_{=1} \cdot \,\overline{OC}
: \overline{OE} = 1 \Longrightarrow \overline{OC} = a\cdot b

此法通过构造三角形外接圆，将乘法转化为几何长度的投影关系。

从割线定理出发的尺规法
算乘法]]
如图2所示，设圆外一点 O ，沿同一方向截取长度为 a 和 b 的线段，得点 A 和 B 。过 O 作与 BO 成任意角 \alpha 的射线，在该射线上截取单位长度 1 ，得点 C 。作 AB 和 AC 的垂直平分線以确定圆心，过 A 、 B 、 C 三点作外接圆，该圆与射线交于点 D 。根据割线定理：
:a\cdot b = \overline{OA} \cdot \overline{OB} = {\overline{OC}} \cdot\,\overline{OD}

通过调整射线角度 \alpha ，可利用相似三角形关系将乘积转化为圆外一点到交点的距离。

从相似三角形出发的尺规法
算乘法]]

如图3所示，在射线 A 上截取单位长度 1 和长度 b ，得点 E 和 B ，从 E 出发，沿另一方向截取长度 a ，得点 C 。过 C 作与 AB 平行的直线，与过 A 的射线交于点 D 。由相似三角形关系可得：
: \dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \dfrac{\overline{BD}}{\overline{BC}}\Longrightarrow \overline{BD} = a\cdot b

此法通过构造平行线与相似三角形，将乘法运算转化为几何比例问题。

參考