除法（英语、法语：division）是四则运算之一。除法运算的本质，就是「重复減法的简化表达」。

例如：，就好像，

\begin{cases}
6-3 = 3 \\
3-3 = 0
\end{cases}
，6被3減了兩次後，就變成了0。

如果
:a \times b = c
而且b不等于零，那么
:a = c \div b

其中，a称为商数，b称为除数，c称为被除数。

如果除式的商數（a）必須是整數，则称为带餘除法，a \times b与c相差的数值，称为餘數（d）。
:c \div b = a \dots d

這也意味著
:c = a \times b + d

在高等数学、科学、工程学和计算机编程语言中，c \div b写成c/b。如果我们毋需知晓确切值，或者留待以后引用，这种形式也常称之为分数的最终形式。其中尋找商數的函數為\operatorname{div}，尋找餘數（即模除）的函數則為\operatorname{mod}。

在代数结构范畴中，除法运算存在两种基本形式，对应不同的数学结构定义：
*带余除法（欧几里得除法）​​：若代数结构中定义了带余除法（即存在商和余数，且余数的范数严格小于除数的范数），则该结构称为歐幾里得整環。例如，一元多项式环（系数取自域）在其多项式次数构成的范数下构成欧几里得整环。
*无余除法​​：若代数结构中所有非零元素均可逆（即对任意非零元素 a，存在 b 使得 ab=ba=1），则该结构称为域；若仅满足乘法可逆性（不要求交换性），则称为除环。例如，复数是域，而四元數是除环。

引言
首先，进入正题前，我们不妨来看两个生活中的例子：
*将500克糖果均分给8人：由\dfrac{500}{8} = 625可得，每人获得62.5克糖果（无余除法）
*500克奶粉，按70克/份分配：由\dfrac{500}{70} = 714\ldots 可得，可完整分配7份，余量≈0.14份（带余除法）
其次，数学和物理存在许多：
*已知某物体重力 P=m\times g ，可得质量 m=P/g ；
*已知匀速直线运动状态下，某物体行进距离 d=v\times t ，可得时间 t=d/v；
*对一般仿射关系 y=ax+b ，其逆映射为 x=(y-b)/a；
*当函数局部可線性化时（如泰勒展开一阶近似）：y=f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\times(x-x_0) ，

: 可构造逆函数近似解：x \simeq x_0 + \frac{f(x) - f(x_0)}{f'(x_0)}；f^{-1}(y) \simeq x_0 + \frac{y - f(x_0)}{f'(x_0)}；
: 此乃牛顿迭代法求根的理论基础：f^{-1}(0) \simeq x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}。

可见，在数学，尤其是在基本算术中，除法可视为「乘法的反运算」，也可理解为「重复的减法」。

定义
基本定义
首先，我们来定义整数间的带余除法。这一运算的核心，是将被除数表示为“除数的整数倍+余数”的形式，且余数需满足特定条件。

具体而言，对于任意整数 a 和非零整数 b，存在唯一的整数 q（商）和 r（余数），使得：
: a=b\times q+r 且 0\leq r

其中，余数 r 的非负性及小于除数绝对值的性质确保了分解的唯一性。

该定义是数论中整除、同余等概念的基础，并广泛用于模运算、輾轉相除法等算法中。

带余除法的概念，已能凸显除零问题​​的本质：如何将一个量分成0份？显然，这没有实际意义。

随后，我们引入十进制数​​的概念，并通过递归处理余数​​的方式扩展计算过程，由此便有了有理数的定义体系。​​至于实数，则​​在有理数基础上拓展而成。

此时可以设想，将整体划分为更小的​​单位份额​​，从而实现分数除法：将一个量除以 0.1（即1/10），意味着初始量相当于1/10个单位份额，进而求出完整单位的大小；而将一个量除以负数，则相当于计算需要移除的单位份额规模。

無理數无法直观理解为具体数量，但可视为一种比——例如正方形对角线与边长之比，或圆周长与其直径之比。至此，除法运算不再能单纯定义为“划分”，而应理解为​​乘法逆运算​​。

基于此定义，除以零仍无意义。由于零乘任何数都得零（0\times a =0），零便有无穷多个乘法逆元。我们亦可从极限角度理解该问题——因为除以某数等价于乘以其倒数，故可将原问题转化为函数f(x)=1/x在零点处极限的操作：当 x 从左侧趋近于零时，极限为-\infty ，从右侧趋近时，则为+\infty。

即便通过引入​​广义实数集​​（即在实数轴上添加-\infty 和+\infty这两个“伪无穷大”）来扩展数系，问题仍未解决，因为极限值的符号不确定性依然存在。由此可见，​​除法在代数与数分中具有根本性意义。

其它定义
环论中的除法定义
设 (A,+,\times) 为整环，则 A 上的​​除法运算​​定义为满足以下条件的二元关系：
*运算规则：对于任意 a,\,b,\,c\in A ，a \div b = c ，当且仅当 b \times c = a（其中 b \neq 0）；
*唯一性：整环的乘法消去律保证除法结果唯一（若 b \times c_1 = a 且 b \times c_2 = a，则 c_1 = c_2）；
*定义域限制​​：除法仅在 \mathrm{A} \times (\mathrm{A}-\{0\}) 上有定义，即除数不能为零。
从整环到域的扩展
若 A 为交换环，可通过​​等价关系​​扩展除法：
*定义等价关系\sim：(a,b)\sim(a',b')\iff a\times b' = a'\times b，其等价类称为​​分数​​，记为 a/b；
*扩展后的集合A / \sim构成域（含乘法逆元），其中 0 / 1 为加法单位元，1 / 1 为乘法单位元。此即有理数域 \mathbb{Q} 的构造基础。
关键限制与意义
*除零禁止​​：零元无乘法逆元，故 b = 0 时除法无定义。
*与欧几里得除法的区别​​：
**环论中的除法是乘法的逆运算，强调代数结构；
**欧几里得除法侧重整数间的带余除法（如上文的带余除法），两者本质不同。

符号与表示
基础算术中，除号“÷”仍被广泛使用，而在代数与科学领域，除法通常用​​水平横线（也被称为分数分划线）或斜杠表示被除数与除数的关系。除这三种以外，还有其它不同形式。

除号形式
用除号将被除数和除数相隔开：
:a \div b
但实际上，除了在基础算术外，这种形式并不常见。ISO 80000-2-10.6标准明确禁止使用该符号​​，因部分欧洲国家用 ÷ 表示減法，容易产生混淆。

分数分划线形式
将​​被除数​​置于分数线上方，​​除数​​置于下方，例如：
:\frac ab

该形式可读作“a除以b”、“b除a”或“a比b”。

斜杠与反斜杠形式
在单行文本中，使用斜杠分隔被除数与除数，例如：
:a/b

此写法常见于编程语言和计算器输入中。

另外，有部分数学软件（如MATLAB、GNU Octave）采用反斜杠表示运算顺序反转的除法：
:b\backslash a (等价于a/b）

还有以上下标斜杠显示的：
:{}^{a}\!/{}_{b}

冒号形式
在某些非英语国家，有的用冒号将被除数和除数相隔开：
:a : b

此用法由奥特雷德于1631年最先引入，自莱布尼兹于1684年提倡以来，才为人广泛应用。

性质
严格而言，除法并不构成集合上的（一种二元运算），其所谓“性质”并不构成数集的结构特性，而应理解为分数形式的固有属性。

非运算性质

非交换律​​：5 \div 3 \neq 3 \div 5

非结合律​​：12 \div (4 \div 3) \neq (12 \div 4) \div 3

特殊元素与等式关系

• 右单位元​​：对任意数 a ，存在 \dfrac a1 = a 。
• 左零吸收元​​：当 b \neq 0 时， \dfrac 0b = 0 。
• 分数等式​​：

** 同分母时：当 b \neq 0 时，\dfrac ab = \dfrac cb \iff a=c 。
** 通分等价：当 b \neq 0 \wedge d \neq 0 时，\dfrac ab = \dfrac cd \iff ad=bc 。
** 顺序保持性​​：当 b > 0 时，分数 \dfrac ab 与 \dfrac cb 的大小关系与原数 a 和 c 保持一致。
*

不同的除法运算
零除以任何非零的数都为零。即在被除数为零，除数非零的前提下，商数为零。
整数除法
整数集在除法运算下没有封闭性，这意味着，两个整数相除，结果不一定是整数。除零操作本身即无定义外，当被除数不是除数的整数倍时，商将呈现为非整数形式。

以26除以11为例，其商即便非整数，但也属于有理数范畴。此时通常采用以下5种处理策略：

将此类除法视为偏函数，即当除法无法得到整数结果时直接判定为无定义。这种处理方式严格遵循数学定义，但会限制运算的应用范围。

采用​​浮点近似法​​，将结果表示为带有小数部分的实数。这是数值计算方面的通用做法，例如 26 \div 11 = 2.3636... 该方法通过牺牲精确性来换取运算的普适性，但可能引入捨入誤差。

通过分數形式​​保持精确性，将结果表示为既约分数\tfrac{26}{11}或带分数2 \tfrac 4{11}。这种处理要求分子分母的最大公约数为1，例如\tfrac{52}{22}经约简后同样得到\tfrac{26}{11}。分数体系通过引入有理数集 \mathbb{Q} ，使整数除法在更广泛的數系中保持封闭性。

采用欧几里得除法，将结果分解为商和余数的组合形式：\tfrac{26}{11} = 2 \mbox{ remainder } 4. 这种表达式满足0\leq 4，其数学基础可追溯至《几何原本》中关于线段分割的公理体系。该处理方式在密码学和算法设计中具有重要应用，如RSA加密演算法中的模幂运算。

实施​​整数截断，直接取商的地板值（floor function），即\tfrac{26}{11} = 2。该处理方式在编程语言中普遍使用，如C语言的整数除法运算符“/”默认采用此规则。但需要注意的是：

不同语言对负数处理存在差异。例如，C语言采用向零取整（T-division），而Python采用向下取整（F-division）。

不同语言对整数除法的实现存在显著差异。例如，MATLAB和計算機代數系統通常返回精确分数，而Java、C++等语言则返回截断后的整数。为获取完整结果，多数语言提供辅助函数，如Python的divmod()可同时获取商和余数，Java的Math.floorDiv()可实现地板值除法。

术语方面，“div”、“/”、“\”等符号在不同语境下可能代表不同运算规则。例如，C++中的“/”运算符对整数执行截断除法，而对浮点数执行精确除法；Python的“//”运算符则严格实施地板值除法。这种语义差异要求程式员必须明确上下文环境。

欲快速判定整数可除性（整除性），可借助整除规则：如2的倍数末位为偶数，3的倍数各位数字之和可被3整除等。这些规则本质上是数论中同余理论的特例。

有理数除法
在除数非零的前提下，两个有理数相除，结果仍为有理数。

具体而言，对于有理数\frac pq和\frac rs（其中 p, q, r, s均为整数且 q, s\neq 0），其除法运算可表示为：
: {p/q \over r/s} = {p \over q} \times {s \over r} = {ps \over qr}

该公式表明，有理数的除法本质上是乘以除数的倒数。所有参与运算的量均为整数，且仅有分子 p 允许为零（此时结果为有理数0）。

这一定义严格保证了除法与乘法的逆运算关系：若 \frac ab \div \frac cd = \frac ef ，则必然满足 \frac ef \times \frac cd = \frac ab 。

实数除法
由有理数除法可得，在除数非零的前提下，两实数相除，结果仍为实数。

复数除法
代数形式的复数除法
对于两个非零复数 p+iq 和 r+is（其中 p,\,q,\,r,\,s\in \mathbb{R}，且 r 和 s 不同时为零），其除法运算通过​​分母实数化​​实现。先将分子和分母同时乘以分母的共轭复数 r-is ，分子展开后再分离实部与虚部，即
: {p+iq \over r+is} = {(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)} = {pr+qs + i(qr-ps) \over r^2+s^2} = {pr+qs \over r^2+s^2} + i{qr-ps \over r^2+s^2}
该方法通过消去分母的虚部实现有理化，分母变为实数。

极坐标形式的复数除法
当上文复数表示为极坐标形式 pe^{iq} 和 re^{is} （与上述条件相同外， p, r>0 ）时，运算可进一步简化为：
: {p e^{iq} \over r e^{is}} = {p e^{iq} e^{-is} \over r e^{is} e^{-is}} = {p \over r}e^{i(q - s)}
该方法直接利用欧拉公式的性质，避免了复杂的代数运算。

多项式除法
和整数之间的带余除法类似，一元多项式之间也可以进行带余除法。
证明：

设有多项式A和非零多项式B，则存在唯一的多项式Q和R，满足：
:A = BQ + R
而多项式R若非零多项式，則其冪次严格小于B的冪次。

作为特例，如果要计算某个多项式P除以一次多项式X-a得到的餘多项式，可以直接将a代入到多项式P中。P除以X-a的餘多项式是P(a)。

具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如，计算 X^3 - 12X^2 - 42除以X-3，列式如下：
:
\begin{matrix}
\qquad\quad\;\, X^2 \; - 9X \quad - 27\\
\qquad\quad X-3\overline{\vert X^3 - 12X^2 + 0X - 42}\\
\;\; \underline{\;\;X^3 - \;\;3X^2}\\
\qquad\qquad\quad\; -9X^2 + 0X\\
\qquad\qquad\quad\; \underline{-9X^2 + 27X}\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -27X - 42\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \underline{-27X + 81}\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; -123
\end{matrix}

因此，商式是\ X^2 - 9X - 27 ，餘式是\ -123 。

矩阵除法
矩阵除法可通过逆矩阵运算实现，通常定义为右除​​：对于可逆方阵 A 和 B ，其除法运算表示为：
: A / B = A \cdot B^{-1}
其中 B^{-1} 为 B 的逆矩阵。为避免歧义，该运算更常见于显式写出乘积形式 AB^{-1} 。

此外，矩阵的​​元素级除法​​可通过阿达玛积定义，即对应元素相除：
: {A \over B} = A \circ B （要求 B 元素非零）

抽象代数除法
抽象代数中，给定一个带有二元运算 的广群，​​左除​​（记为 ）通常定义为满足方程 的解 x ，类似地，​​右除记为 ）通常定义为满足方程 的解 y 。这种除法定义不要求运算 具有交换性、结合性或單位元等性质。若一个广群中，所有元素对 a 和 b 的左除和右除均存在且唯一（即满足拉丁方陣），则该广群称为拟群。在拟群中，即使没有单位元和逆元，这种除法运算始终可行。

消去性质与除法运算的扩展
在任意广群中，若元素 a 满足消去律，则可通过 a 对元素进行消去操作。例如：

• 矩阵代数​​中，可逆矩阵的左乘或右乘满足消去律；
• 四元數代数​​中，非零元素满足消去律；
• 拟群的结构天然支持消去操作。

在整环中，虽然并非所有元素都有逆元，但对可消去元素 a ，仍可对形如 ab 或 ca 的元素进行左除（ ）或右除（ ）。进一步地，若一个有限环的所有非零元素均满足消去性质，则根据鴿巢原理，每个非零元素必为可逆元，从而该环成为除环，此时任意非零元素均可作除法。

除法代数的分类与博特周期性
博特周期性定理表明，对于满足特定条件的代数结构（如有限维实范数除法代数），其仅能与以下四类结构同构：

• 实数域 \mathbb{R}（维度 1）；
• 复数域 \mathbb{C}（维度 2）；
• 四元數代数 \mathbb{H}（维度 4）；
• 八元数代数 \mathbb{O}（维度 8）。

这一分类结果揭示了除法代数维度的内在规律性，并在拓扑学与量子场论中具有重要应用。

二进制除法
讲完以上十进制除法，我们来介绍计算机科学领域更为常见的二进制编码数除法。

二元欧几里得除法
首先，我们来思考两个正整数 a 和 b 的除法运算，采用欧几里得除法。

设 a 和 b 均为 n 位二进制数，其中 a(i) 表示第 i 位（从右向左，编号为 0 至 n-1），a(i:j) 表示从第 i 位到第 j 位的连续位段。以下伪代码（因词汇采用法语而非英语，如无另外说明，以下伪代码词汇皆用法语）实现了该除法的商 Q 和余数 R 的计算：

fonction [Q, R] = diviser(a, b)

si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;

Q := 0 ; R := a ; // initialisation
pour i = n-1 → 0
si a(n:i) >= b alors
Q(i) = 1 ; // i-ème bit du quotient
R = a(n:i) - b ; // reste
fin
fin
retourne [Q, R] ;
fin

算法从被除数的最高位开始，逐步截取与除数同长度的位段（记为 a(n:i)），并判断是否满足 a(n:i)\geq b 。若当前截取的被除数高位段（从最高位开始逐步扩展）小于除数，则商的对应位为0；若该位段数值大于等于除数b，则通过一次减法操作确定商的当前位为1，并更新余数 R = a(n:i) -b 。

原始伪代码通过逐位比较实现，而优化版本有以下改进：

fonction [Q, R] = diviser(a, b)

si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;

Q := 0 ; R := 0 ; // initialisation
pour i = n-1 → 0
R = décalage_à_gauche_de_bits(R, 1) ; // équivaut à rajouter un 0 à droite
R(1) = a(i) ; // le bit de poids faible de R est le i-ème bit du numérateur
si R >= b alors
Q(i) = 1 ; // i-ème bit du quotient
R = R - b ; // reste
fin
fin
retourne [Q, R] ;
fin

而对于浮点数，只需将其分解为尾数和指数，公式为：
:\frac{2^m\,a}{2^n\,b}=2^{m-n}\frac ab
但需处理捨入誤差，如采用舍入到最近偶数策略。

总之，该算法仅需​​比较、位移、减法​​三种基本操作，体现了计算机算术运算中​​位级优化​​的核心思想，适合在微处理器中通过组合逻辑电路或状态机实际操作。

相对较慢的算法
设被除数 a 和除数 b 均为 n 位二进制数，其中 a(i) 表示第 i 位（从右向左，编号为 0 至 n-1），a(i:j) 表示从第 i 位到第 j 位的连续位段。算法核心思想是通过递推关系构造商 Q 和余数 R 。

在第 i 步迭代中，余数更新公式为：
: R_i=B\times R_{i-1}-Q_{n-i}\times b

若当前余数 R_{i-1} 左移后大于等于除数 b ，则商位 Q_{n-i}=1 ，更新余数
: R_i=2\times R_{i-1}-b

若结果为负，则商位 Q_{n-i}=0 ，需恢复余数
: R_i=2\times R_{i-1}+b（通过加回除数实现）

此算法下，原始版本伪代码如下：

fonction [Q, R] = diviser(a, b)

si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;

R := a // valeur initiale du reste
b := décalage_à_gauche_de_bits(b, n)
pour i = n-1 → 0
R := décalage_à_gauche_de_bits(b, 1)
si R >= b alors
Q(i) := 1 // le i-ème bit de i est 1
R = R - b
sinon
Q(i) := 0 // le i-ème bit de i est 0
fin
fin
retourner[Q, R]
fin

优化版本伪代码如下：

fonction [Q, R] = diviser(a, b)

si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;

R := a // valeur initiale du reste
b := décalage_à_gauche_de_bits(b, n)
pour i = n-1 → 0
R := 2*R - b // le reste décalé est-il supérieur à b ?
si R >= 0 alors
Q(i) := 1 // le i-ème bit de i est 1
sinon
Q(i) := 0 // le i-ème bit de i est 0
R := R + b // on restaure la valeur du reste en gardant le décalage
fin
fin
retourner[Q, R]
fin

由于循环中的最后一条语句，这种算法被称为“带恢复的除法”。通过引入​​+1和-1商位生成机制​​，可改进为无恢复余数算法。

例如，二进制数11101010可通过以下方式计算：
11101010
-00010101
---------
11010101，通过​​商位符号扩展​​避免余数恢复步骤。

无恢复余数算法伪代码如下：

fonction [Q, R] = diviser(a, b)

si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;

R[0] := a
i := 0
tant que i = 0 alors
Q[n-(i+1)] := 1
R[i+1] := 2*R[i] - b
sinon
Q[n-(i+1)] := -1
R[i+1] := 2*R[i] + b
fin
i := i + 1
fin
Q = transforme(Q)
retourner[Q, R]
fin

另外，还有SRT算法，一种通过​​商位查找表​​的非恢复方法。

相对更快的算法
快速除法的核心思想，是通过​​计算倒数实现除法运算，即先计算 x=1/b ，再通过乘法 Q=a\times x 得到商。此乃牛顿-拉夫森法，其数学形式为：
: x_i = x_{i - 1} - \frac{f_b(x_{i - 1})}{f'_b(x_{i - 1})}

其中，函数 f_b(x) = 0 的零点即为 1/b。迭代公式可简化为：
: x_i = x_{i-1} + x_{i-1} (1-b x_{i-1})

为加速收敛，需对 1/b 进行初始估计。先将除数 b 的二进制指数对齐至区间 [0,5;1] ，再采用预计算的线性近似公式：
: x_0 = \frac{48}{17} - \frac{32}{17}b\ (\simeq 282 - 1,88 b)
其中系数 48/17 和 32/17 已预先存储为常量。

牛顿-拉夫森法具有​​二次收敛性​​，误差随迭代次数指数级下降。对于 p 位精度，所需迭代次数为：
: s = \log_2 \left ( \frac{p + 1}{\log_2 17} \right )
欲求单精度浮点数（24位尾数），需要约3次迭代；欲求双精度浮点数（53位尾数），则需约4次迭代。

牛顿-拉夫森法伪代码如下：

fonction [Q] = diviser(a, b)
e := exposant(b) // b = M*2^e (représentation en virgule flottante)
b' := b/2^{e + 1} // normalisation ; peut se faire par un décalage de e+1 bits à droite
a' := a/2^{e + 1} // 0.5

至于高施密特法，则是基于倒数逼近原理实现除法运算。其核心思想是通过构造因子序列
: F_k=f_k\times f_{k-1}\times \ldots f_1 =\prod(f_i)
使得归一化后的除数b满足收敛条件
: b_k=F_k \times b \Longrightarrow 1。

整除
整除是数学中两个自然数之间的一种关系。自然数a可以被自然数b整除，是指b是a的因數，且a是b的整数倍数，也就是a除以b没有餘数。
:a \div b = q \dots 0
因數判別法可參照整除規則。

表示方法
b \mid a表示b整除a，即a是b的倍数，b是a的因数。

举例
15可以被5整除，记作5 \mid 15。

20不能被6整除（因为餘数为2），记作6 \nmid 20。在\mid上加一条斜线即表示不整除。

运算方法
根据乘法表，两个整数可以用长除法（直式除法）笔算。如果被除数有分数部分（或者说时小数点），计算时将小数点带下来就可以；如果除数有小数点，将除数与被除数的小数点同时移位，直到除数没有小数点。

算盘也可以做除法运算。

長除法
長除法俗稱「長除」，適用於正式除法、小數除法、多項式除法（即因式分解）等較重視計算過程和商數的除法，過程中兼用了乘法和減法。

使用長除法計算的過程可以表示為：

:
\begin{array}{l}
37 \ \big) \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}
\! \! \! \! \!
\begin{array}{r}
34061 \\ \hline
\ 1260257 \\
111 \quad \quad \\ \hline
150 \quad \ \ \\
148 \quad \ \ \\ \hline
225 \ \ \\
222 \ \ \\ \hline
37 \\
37 \\ \hline
0 \\
\end{array}

短除法
短除法是長除法的簡化版本。在短除法裏，被除數放中央，旁以一L型符號表示除法，被除數左側為除數，下側為商，省去了長除法逐層計算的過程。

• 使用短除法計算3 \div 7的近似值：

::
\begin{array}{r}
7 \ | \! \underline{\, \ 3.00000000000000000 \dots \ } \\
0.42857142857142857 \dots \
\end{array}

• 使用短除法計算420的質因數分解：

::
\begin{array}{r}
2 \ | \! \underline{\, \ \ \ 420 \ } \\
2 \ | \! \underline{\, \ \ 210 \ } \\
3 \ | \! \underline{\, \ 105 \ } \\
5 \ | \! \underline{\, \ 35 \ } \\
7 \
\end{array}

::420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7

• 使用短除法計算420,270的最大公因數及最小公倍數：

::
\begin{array}{r}
2 \ | \! \underline{\, \ \ \ 420 \quad 270 \ } \\
3 \ | \! \underline{\, \ \ 210 \quad 135 \ } \\
5 \ | \! \underline{\, \ 70 \quad \ \ 45 \ } \\
14 \quad \ \ \ \ 9 \
\end{array}

::
\begin{cases}
\gcd(420, 270) = 2 \times 3 \times 5 = 30 \\
\operatorname{lcm}(420, 270) = 2 \times 3 \times 5 \times 14 \times 9 = 3780
\end{cases}

尺规作图法
类似于乘法、幂运算和平方根，除法同样可以用尺规作图来表示。下文将展示两种不同的操作方法：

一种方法是作圆法。

两幅附图分别展示了一种简洁解法，该解法同时适用于 a:b 及其倒数 b:a 。图中的虚线圆和弧并非解题所需，而凭通过弦定理，更清晰地展示证明过程。为方便对比，图中各点的命名与弦定理引言图一致。

以下仅针对a 的情况（图1）说明构造步骤（至于 a>b 的情况，见图2）：

在数轴上，将长度 a 和 b 的两条共线线段分别标记为线段 \overline{DS} 和 \overline{SB} ；

过点 S 作 \overline{DB} 的垂线，并作一条与 \overline{DB} 距离为1的平行线，两线交于点 C 。为确定过点 C 的弧 k_b 的圓心 M ，需作弦 \overline{DC} 和 \overline{CB} 的两条中垂线（图中未画出）；

绘制弧 \mathrm{arc}\; MBD ，其与另一辅助线交于点 E ；

连接点 D 和 E ，该连线与过 C 作的垂线交于 C' ；

从点 B 出发，作过 E 的射线，直至其与过 C 作的垂线交于 C* 。

至此，构造基本完成。为避免出现重叠， \overline{FD} 与 \overline{C*S} 的长度关系需单独说明。

对图1的证明：

在以 M' 为圆心的圆 k_2 中应用弦定理可得：
:\overline{A'S} \cdot \overline{C'S} = \overline{BS} \cdot \overline{DS} \Rightarrow
:a:b = \overline{C'S} = \frac{\overline{BS}\cdot\overline{DS}}{\overline{A'S}}.

在以 M* 为圆心的圆 k_3 中应用弦定理可得：
:\overline{AS} \cdot \overline{CS} = \overline{BS} \cdot \overline{DS} \Rightarrow
:b:a = \overline{CS} = \overline{FD} = \frac{\overline{BS}\cdot\overline{DS}}{\overline{AS}}.

另一种方法是利用截線定理，用尺规作全等三角形。（图3）具体步骤如下：

自点 A 引出第一条射线；

在该射线上，以 A 为起点，先截取长度为 1 的线段 \overline{AE} ，再截取长度为 b 的线段 \overline{AB} ；

自点 B 出发，在与 \overline{AB} 成任意角 \alpha 的方向上截取长度为 a 的线段 \overline{BD} ；

过点 D 作自点 A 引出的第二条射线；

自点 E 作与 \overline{BD} 平行的直线，该直线与第二条射线的交点 C 所对应的线段 \overline{EC} 即为所求商 \frac{a}{b} 的长度。

关于“除以零”
“除以零”有意义吗？
在标准数学体系中，除以零被定义为“未定义”操作，因其与“零乘任何有限数恒为零”相悖，计算器输入此类表达式也会报错。但在零环和等高阶数学结构中，通过重新定义运算规则，除以零可被赋予特定意义。

1 : 0 是否等于∞?
上的函数图象]]

部分人认为，这个问题应当赋予“∞”的解，因为经验表明，当分配者数量趨近於零时，每个个体获得的量会趋向无限。然而，这种直觉在数学体系中会引发根本性矛盾。

首先，引入“∞”这一“值”将导致环及其算术体系的瓦解。具体表现为：

• 传统算术运算规则失效（如 ∞ - ∞ 未定义）
• 出现大量不定式（如1 : 0型表达式）
• 需另外建立特殊处理法则

其次，通过极限理论，在x=0处，函数 \tfrac{1}{x} 同时具有正负两个方向的发散趋势：

• 右极限：\lim_{x\to +0} \tfrac{1}{x} = +\infty.
• 左极限：\lim_{x\to -0} \tfrac{1}{x} = -\infty.

由于正负无穷不可比较，该点不存在传统意义上的极限值。

而且，在有理数集 \Q 和实数集 \R 中，引入无穷大会破坏原有序关系，导致比较运算的逻辑悖论。

最后，直接承认方程 0 \cdot x = 1 无解具有显著优势：

• 保持算术体系自洽性
• 避免引入矛盾性概念
• 更利于误差处理（如编程中的除零异常）

接受该方程无解的朴素事实，并借助分析学工具（如洛必达法则）处理相关问题，是更为合理且自洽的解决方案。

参见

• 筹算除法
• 同餘
• 余数
• 带餘除法

參考資料