交換律

交換律（）是被普遍使用的一個數學名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質，而且許多的數學證明需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在，且沒有給定其一特定的名稱，直到19世紀，數學家開始形式化數學理論之後，交換律才得到正式的定义。

一般用法
交換律是一個和二元運算及函數有關的性質。而若交換律對一特定二元運算下的一對元素成立，則稱這兩個元素為在此運算下是「可交換」的。

在群論和集合論中，許多的代數結構被稱做是可交換的，若其中的運算域滿足交換律。在數學分析和線性代數中，一些知名的運算（如實數及複數上的加法和乘法）的交換律會經常被用於（或假定存在於）證明之中。

數學定義
「可交換」一詞被使用於如下幾個概念中：

#若稱集合S上的一個二元運算為「可交換」的，若(\forall x \in S)(\forall y \in S)(x y = y * x)。
#若稱x在下和y為「可交換」的，則x y = y * x。
#若稱二元函數f:A \times A \to B為「可交換」的，若(\forall x \in A)(\forall y \in A)[f(x, y) = f(y, x)]。

歷史
對交換律假定存在的應用早在很久之前便已有所記戴。埃及人用乘法的交換律來簡化乘積的計算。且知歐幾里得在《幾何原本》中已有假定了乘法交換律的存在。對交換律形式上的應用產生於18世紀末19世紀初，那時數學家開始在研究函數的理論。今日，交換律已被普遍認知，且在大多數的數學分支中被當做基本性質來使用。交換律的簡易版本通常會在初等數學教程中被教導。

第一個使用「可交換（commutative）」一詞的是 Francois Servois 於1814年寫下的筆記，這一詞在筆記中被用來指有著現在稱之為交換律的函數。這一詞首次出現於英語中的是在1844年的英國皇家學會哲學彙刊中。 0-1\neq 1-0 ，不過可將其減法符號轉換成加上其相反數，即可使用交換律。

• 除法： 1\div2\neq 2\div1，可將除法轉換成乘上其倒數以使用交換律。
• 矩陣乘法：

:
\begin{bmatrix}
0 & 2 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\neq
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
。

數學結構與交換律

• 阿貝爾群是一個群運算為可交換的群。
• 域的加法與乘法都是可交換的。
• 中心是一個群最大的可交換子集。

註記
參考資料
書籍
*
:*Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.
*
:*Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.
*
:Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.

文章
*https://web.archive.org/web/20080228100512/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.
:Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.
Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text*. London: British Museum Publications Limited. ISBN 978-0-7141-0944-2
:Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.

線上資源
*
*Krowne, Aaron, , Accessed 2007-08-08.
:Definition of commutativity and examples of commutative operations*
*, Accessed 2007-08-08.
:Explanation of the term commute*

• , Accessed 2007-08-08

:Examples proving some noncommutative operations*
*
:Article giving the history of the real numbers*
*
:Page covering the earliest uses of mathematical terms*
*
:Biography of Francois Servois, who first used the term*

另見
*反交換律
*二元運算
*交換子集合
*交換子
*分配律
*結合律
*遞移關係