数学中，域\mathbb{K}上的对偶系统或对偶对是指三元组(X, Y, b)，包含\mathbb{K}上的2个向量空间X、Y，以及非退化双线性映射b : X \times Y \to \mathbb{K}。

对偶理论是对对偶系统的研究，在泛函分析中占有重要地位，并通过希尔伯特空间广泛应用于量子力学中。

定义、记号与惯例
配对
域\mathbb{K}上的配对（pairing或pair）是一个三元组(X, Y, b)，也可以用b(X, Y)表示， 包含\mathbb{K}上的两个向量空间X、Y及双线性映射b : X \times Y \to \mathbb{K}，称作与配对关联的双线性映射，或配对的映射，或其双线性形式。简单起见，本文只涉及\mathbb{K}是实数\R或复数\Complex的例子。

\forall x \subseteq X，定义
\begin{alignat}{4}
b(x, \,\cdot\,) : \,& Y && \to &&\, \mathbb{K} \\
& y && \mapsto &&\, b(x, y)
\end{alignat}
\forall y \subseteq Y，定义
\begin{alignat}{4}
b(\,\cdot\,, y) : \,& X && \to &&\, \mathbb{K} \\
& x && \mapsto &&\, b(x, y).
\end{alignat}
\forall b(x, \,\cdot\,)是Y上的线性泛函，\forall b(\,\cdot\,, y)是X上的线性泛函。令
b(X, \,\cdot\,) := \{ b(x, \,\cdot\,) : x \in X \} \qquad \text{ and } \qquad b(\,\cdot\,, Y) := \{ b(\,\cdot\,, y) : y \in Y \}
其中每个集合构成一个线性泛函的向量空间。

通常记\langle x, y \rangle而非b(x, y)，这样配对不必写成(X, Y, \langle \cdot, \cdot \rangle)，而可以写成\left\langle X, Y \right\rangle。不过，本文将用\langle \cdot, \cdot \rangle表示求值映射（定义见下），以避免混淆。

对偶对
若双线性形式b是非退化的，则称配对(X, Y, b)是\mathbb{K}上的对偶系统或对偶对 ，满足下面两条分离公理：

Y分离（区分）X的点：若x \in X使得b(x, \,\cdot\,) = 0，则x = 0；等价地，对所有非零的x \in X，映射b(x, \,\cdot\,) : Y \to \mathbb{K}不等同于0（即\exists y \in Y使得\forall x \in X,\ b(x, y) \neq 0）；

X分离（区分）Y的点：若y \in Y使得b(\,\cdot\,, y) = 0，则y = 0；等价地，对所有非零的y \in Y，映射b(\,\cdot\,, y) : X \to \mathbb{K}不等同于0（即\exists x \in X使得\forall y \in Y,\ b(x, y) \neq 0）。

这样b是非退化的，可以说b将X、Y置于（分离）对偶中（places in (separated) duality），b是三元组(X, Y, b)的对偶配对（duality pairing）。
全子集
若\forall x \in X, b(x, s) = 0 \quad \forall s \in S能推出x = 0，则称S\in Y为全集。
X的全子集定义相似（见脚注）。因此，当且仅当X是X的全子集，X分离Y中所有点，对Y亦然。

正交性
若b(x, y) = 0，称向量x、y正交，记作x \perp y。若b(R, S) = \{ 0 \}，称两子集R \subseteq X、S \subseteq Y正交，记作R \perp S；即\forall r \in R、s \in S，b(r, s) = 0。子集正交于向量的定义与之类似。

子集R \subseteq X的正交补或零化子是
R^{\perp} := \{ y \in Y : R \perp y \} := \{ y \in Y : b(R, y) = \{ 0 \} \}.
于是，当且仅当R^\perp=\{0\}，R是X的全子集。

极集
给定在\mathbb{K}上定义了对偶对的三元组(X, Y, b)，子集A\subseteq X的绝对极集或极集是集合A^{\circ} := \left\{ y \in Y : \sup_{x \in A} |b(x, y)| \leq 1 \right\}.对称地，子集B\subseteq Y的绝对极集或极集记作B^{\circ}，定义为
B^{\circ} := \left\{ x \in X : \sup_{y \in B} |b(x, y)| \leq 1 \right\}.

为了使用有助于跟踪对偶性两侧不对称的标记，子集B\subseteq B的绝对极也可以称为B的绝对预极（absolute prepolar）或预极（prepolar），可表为{}^{\circ} B。

极B^{\circ}必然是凸集，包含0 \in Y，若B平衡，则B^{\circ}也平衡；若B是X的向量子空间，则B^{\circ}是Y的向量子空间。

若A是X的向量子空间，则A^{\circ} = A^{\perp}，还等于A的实极。若A \subseteq X，则A的双极（bipolar，记作A^{\circ\circ}）是A正交补的极，即集{}^{\circ}\left(A^{\perp}\right)。相似地，若B \subseteq Y，则B的双极是B^{\circ\circ} := \left({}^{\circ}B\right)^{\circ}。

对偶的定义与结果
给定对(X, Y, b)，定义新对(Y, X, d)，其中\forall x \in X,\ \forall y \in Y,\ d(y, x) := b(x, y)。
对偶理论有个一贯的主题：任何对(X, Y, b)都有相应的对偶对(Y, X, d)。
:：给定配对(X, Y, b)的任何定义，将其应用于配对(Y, X, d)，就能得到对偶定义。这约定也适用于定理。

例如，若X分离Y的点（或者说S是Y的全子集）定义如上，则此约定立即产生了对偶定义：Y分离X的点（或者说S是X的全子集）。
下面的写法几乎无处不在，可让我们不用为d指定符号。

:：若配对(X, Y, b)的定义及其记号取决于X和Y的顺序（例如，X上的麦奇拓扑\tau(X, Y, b)），那么交换X、Y顺序就意味着定义适用于(Y, X, d)（接上例，拓扑\tau(Y, X, b)实际上是拓扑\tau(Y, X, d)）。

再比如，一旦定义了X上的弱拓扑\sigma(X, Y, b)，则此对偶定义就会自动应用到配对(Y, X, d)，从而得到Y上弱拓扑的定义——\sigma(Y, X, b)而非\sigma(Y, X, d)。

(X, Y)及(Y, X)的识别
虽然从技术上将这是不正确的，也是对符号的滥用，但本文将遵守几乎普遍的管理，及将配对(X, Y, b)与(Y, X, d)互换处理，并用(Y, X, b)表示(Y, X, d)。

例子
配对的限制
设(X, Y, b)是配对，M是X的向量子空间，N是Y的向量子空间。则，(X, Y, b)对M \times N的限制就是配对\left(M, N, b\big\vert_{M \times N}\right)。若(X, Y, b)是对偶，则限制就有可能不对偶（如，若Y \neq \{ 0 \}、N = \{ 0 \}）。

本文将使用通常做法，用(M, N, b)表示限制\left(M, N, b\big\vert_{M \times N}\right)。

向量空间上的规范对偶
设X是向量空间，令X^{\#}表示X的代数对偶空间（即，X上所有线性泛函的空间）。则有规范对偶\left(X, X^{\#}, c\right)，其中c\left(x, x^{\prime}\right) = \left\langle x, x^{\prime} \right\rangle = x^{\prime}(x)，称之为X \times X^{\#}上的求值映射或自然/规范双线性泛函。

注意\forall x^{\prime} \in X^{\#}，c\left(\,\cdot\,, x^{\prime}\right)只是表示x^{\prime}的另一种方式，即c\left(\,\cdot\,, x^{\prime}\right) = x^{\prime}(\,\cdot\,) = x^{\prime}.

若N是X^{\#}的一个向量子空间，则\left(X, X^{\#}, c\right)对X \times N的限制称作规范配对。若此配对是对偶，则称为规范对偶。显然X总是分离N的点，因此当且仅当N分离X中的点，规范配对是对偶系统。
下列记号现在在对偶理论中几乎无处不在。

求值映射记作\left\langle x, x^{\prime} \right\rangle = x^{\prime}(x)（而非c），将(X, N, c)改为\langle X, N \rangle。

:假设：按惯例，若X是向量空间，N是X上线性泛函的向量空间，则除非另有说明，否则将假定它们同规范配对\langle X, N \rangle相关联。

若N是X^{\#}的向量子空间，则当且仅当N分离X的点（或等价地，N是全的，\forall n \in N,\ n(x) = 0能推出x = 0），X分离N的点（或等价地，(X, N, c)是对偶），

拓扑向量空间上的规范对偶
设X是拓扑向量空间，有连续对偶空间X^{\prime}。
则，规范对偶\left(X, X^{\#}, c\right)对X\times X^{\prime}的限制确定了配对\left(X, X^{\prime}, c\big\vert_{X \times X^{\prime}}\right)，其中X分离X^{\prime}的点。
若X^{\prime}分离X的点（例如，若X是豪斯多夫局部凸空间，则恒为真），则此配对形成了对偶。

:假设：正如通常所作，只要X是拓扑向量空间，则除非另有说明，否则将假定其与规范配对\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle相关联，无需注释。

拓扑向量空间的极与对偶
下列结果表明，拓扑向量空间上的连续线性泛函恰是在原点邻域上有界的线性泛函。

{{Math theorem|name=定理|math_statement=
令X是拓扑向量空间，有代数对偶
X^{\#}，并令\mathcal{N}为X在原点邻域的基。
在规范对偶\left\langle X, X^{\#} \right\rangle下，X是连续对偶空间是所有N^{\circ}的并，因为N的范围是\mathcal{N}（其中极位于X^{\#}）。}}

内积空间与复共轭空间
预希尔伯特空间(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)，当且仅当H是\R上的向量空间，或H是0维，(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)是对偶对。这里假定半双线性形式\langle \cdot, \cdot \rangle在第二坐标上是共轭齐次的，在第一坐标上是齐次的。

若(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)是实希尔伯特空间，则(H, H, \langle \cdot, \cdot \rangle)形成对偶系统。

若(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)是复希尔伯特空间，则当且仅当\operatorname{dim} H = 0，(H, H, \langle \cdot, \cdot \rangle)形成对偶系统。若H非平凡，则(H, H, \langle \cdot, \cdot \rangle)甚至不是配对，因为内积是半双线性的，而非双线性的。

设(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)是复预希尔伯特空间，标量乘法用并列或\cdot表示。
定义映射
\,\cdot\, \perp \,\cdot\, : \Complex \times H \to H \quad \text{ by } \quad c \perp x := \overline{c} x,
其中右式使用了H的标量乘法。令\overline{H}表示H的复共轭向量空间，其中\overline{H}表示加群(H, +)（所以\overline{H}中的向量加法与H中的相同），但\overline{H}中的标量乘法是映射\,\cdot\, \perp \,\cdot\,（而非H被赋予的标量乘法）。

映射b : H \times \overline{H} \to \Complex定义为b(x, y) := \langle x, y \rangle，在两个坐标中都是线性的，因此\left(H, \overline{H}, \langle \cdot, \cdot \rangle\right)形成对偶对。

其他例子

设X = \R^2,\ Y = \R^3,\ \forall\left(x_1, y_1\right) \in X \text{ and } \left(x_2, y_2, z_2\right) \in Y,令b\left(\left(x_1, y_1\right), \left(x_2, y_2, z_2\right)\right) := x_1 x_2 + y_1 y_2.则(X, Y, b)是配对，使X区分Y的点，但Y不区分X的点。此外，X^{\perp} := \{y \in Y : X \perp y\} = \{(0, 0, z) : z \in \R\}.

令0 （其中q满足\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1），b(f, g) := \int f g \, \mathrm{d}\mu.则(X, Y, b)是对偶系统。

令X、Y是同一域\mathbb{K}上的向量空间，则双线性形式b\left(x \otimes y, x^ \otimes y^\right) = \left\langle x^{\prime}, x \right\rangle \left\langle y^{\prime}, y \right\rangle使X \times Y与X^{\#} \times Y^{\#}对偶。

序列空间X及其Beta-对偶空间Y := X^{\beta}，双线性映射定义为\forall x \in X,\ y \in X^{\beta},\ \langle x, y \rangle := \sum_{i=1}^{\infty} x_i y_i形成对偶系统。

弱拓扑
设(X, Y, b)是\mathbb{K}上一对向量空间。若S \subseteq Y，则*X上由S（和b）诱导的弱拓扑*是X上最弱的拓扑向量空间拓扑，记作\sigma(X, S, b)或\sigma(X, S)，使y在S上取值时所有映射b(\,\cdot\,, y) : X \to \mathbb{K}连续。若S在语境中不明确，则应假定是Y的全部，这时称之为X上（由Y*诱导的）的弱拓扑。
X_{\sigma(X, S, b)},\ X_{\sigma(X, S)},或（若无混淆）X_{\sigma}用于表示赋有弱拓扑\sigma(X, S, b)的X。
重要的是，弱拓扑完全取决于函数b、\Complex上的通常拓扑与X上的向量空间结构，而与Y的代数结构无关。
同样，若R \subseteq X，则*Y上由R（和b）诱导的弱拓扑**的对偶定义记作\sigma(Y, R, b)或\sigma(Y, R)（细节见脚注）。

:：若\sigma(X, Y, b)附在一个拓扑定义上（如\sigma(X, Y, b)-收敛、\sigma(X, Y, b)-有界、\operatorname{cl}_{\sigma(X, Y, b)}(S)等等），则就意味着当定义的第一个空间（即X）携带\sigma(X, Y, b)拓扑。若无混淆，可以不提及b甚至X、Y。例如，若Y中序列\left(a_i\right)_{i=1}^{\infty}“\sigma-收敛”或“弱收敛”，这意味着它收敛于(Y, \sigma(Y, X, b))，而若它是X中的序列，则意味着它收敛于(X, \sigma(X, Y, b))）。

拓扑\sigma(X, Y, b)是局部凸的，因为它由p_y(x) := |b(x, y)|定义的半范数族p_y : X \to \R确定，其中y在Y上取值。
若x \in X,\ \left(x_i\right)_{i \in I}是X中的网，则若\left(x_i\right)_{i \in I}在(X, \sigma(X, Y, b))中收敛到x，\left(x_i\right)_{i \in I}\sigma(X, Y, b)-收敛于x。网\left(x_i\right)_{i \in I}，当且仅当\forall y \in Y,\ b\left(x_i, y\right)收敛到b(x, y)，\sigma(X, Y, b)-收敛到x。

若\left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}是希尔伯特空间中的正交规范向量列，则\left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}弱收敛到0，但不会规范收敛（norm-convergence）到0（或任意向量）。

若(X, Y, b)是配对，N是Y的一个适当的向量子空间，使得(X, N, b)是对偶对，则\sigma(X, N, b)比\sigma(X, Y, b)严格粗。

有界子集
子集S\subseteq X，当且仅当\sup_{} |b(S, y)| ，其中|b(S, y)| := \{ b(s, y) : s \in S \}，称S\sigma(X, Y, b)-有界。

豪斯多夫性
若(X, Y, b)是配对，则下列条件等价：

X分离Y的点；

映射y \mapsto b(\,\cdot\,, y)定义了Y到X的代数对偶空间的单射；

\sigma(Y, X, b)是豪斯多夫空间。

弱表示定理
下列定理对对偶理论至关重要，因为它完全表征了(X, \sigma(X, Y, b))的连续对偶空间。

{{Math theorem|name=弱表示定理|math_statement=
令(X, Y, b)是域\mathbb{K}上的配对，则(X, \sigma(X, Y, b))的连续对偶空间是b(\,\cdot\,, Y) := \{b(\,\cdot\,, y) : y \in Y\}.另外，

若f是(X, \sigma(X, Y, b))上的连续线性泛函，则\exists y \in Y使f = b(\,\cdot\,, y)；若这样的y存在，则当且仅当X分离Y的点时，这样的y是唯一的。

• 注意，X是否分离Y中的点并不取决于y的特定选择。

(X, \sigma(X, Y, b))的连续对偶空间可以视作商空间Y / X^{\perp}，其中X^{\perp} := \{y \in Y : b(x, y) = 0 \ \ \forall x \in X\}。

• 无论X是否分离Y的点，或Y是否分离X中的点，这都是正确的。}}

因此，(X, \sigma(X, Y, b))的连续对偶空间是
(X, \sigma(X, Y, b))^{\prime} = b(\,\cdot\,, Y) := \left\{ b(\,\cdot\,, y) : y \in Y \right\}.

关于规范配对，若X是拓扑向量空间，其连续对偶空间X^{\prime}分离X的点（即使\left(X, \sigma\left(X, X^{\prime}\right)\right)豪斯多夫，这可推出X也必豪斯多夫），则\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)的连续对偶空间等于x在X中取值时所有“点x处得值”的映射集合（即将x^{\prime} \in X^{\prime}送到x^{\prime}(x)的映射）。
通常写成
\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)^{\prime} = X \qquad \text{ or } \qquad \left(X^{\prime}_{\sigma}\right)^{\prime} = X.
这一重要事实就是为什么连续对偶空间上极拓扑的成果（如X^{\prime}上的强对偶拓扑\beta\left(X^{\prime}, X\right)）能应用到原拓扑向量空间X的。例如，将X视作\left(X^{\prime}_{\sigma}\right)^{\prime}意味着\left(X^{\prime}_{\sigma}\right)^{\prime}上的拓扑\beta\left(\left(X^{\prime}_{\sigma}\right)^{\prime}, X^{\prime}_{\sigma}\right)可被视作X上的拓扑。
此外，若X^{\prime}被赋予比\sigma\left(X^{\prime}, X\right)更细的拓扑，那么X^{\prime}的连续对偶空间必然包含\left(X^{\prime}_{\sigma}\right)^{\prime}（作为子集）。
例如，X^{\prime}被赋予强对偶拓扑（于是记作X^{\prime}_{\beta}），则
\left(X^{\prime}_{\beta}\right)^{\prime} ~\supseteq~ \left(X^{\prime}_{\sigma}\right)^{\prime} ~=~ X

这允许X被赋予由强对偶拓扑\beta\left(\left(X^{\prime}_{\beta}\right)^{\prime}, X^{\prime}_{\beta}\right)在X上诱导的子空间拓扑（此拓扑也称作强双对偶拓扑，见于自反空间理论：豪斯多夫局部凸拓扑向量空间X，若\left(X^{\prime}_{\beta}\right)^{\prime} = X则称其是半自反空间，若在此之外，其在X上的强双对偶拓扑\beta\left(\left(X^{\prime}_{\beta}\right)^{\prime}, X^{\prime}_{\beta}\right)还等于X的原/初拓扑，则称其是自反空间。
正交、商与子空间
若(X, Y, b)是配对，则对X的任意子集S：

S^{\perp} = (\operatorname{span} S)^{\perp} = \left(\operatorname{cl}_{\sigma(Y, X, b)} \operatorname{span} S\right)^{\perp} = S^{\perp\perp\perp}，且此集合是\sigma(Y, X, b)-闭的；

S \subseteq S^{\perp\perp} = \left(\operatorname{cl}_{\sigma(X, Y, b)} \operatorname{span} S\right)；

• 因此，若S是X的\sigma(X, Y, b)-闭向量子空间，则S \subseteq S^{\perp\perp}.

若\left(S_i\right)_{i \in I}是X的\sigma(X, Y, b)-闭向量子空间族，则

\left(\bigcap_{i \in I} S_i\right)^{\perp} = \operatorname{cl}_{\sigma(Y, X, b)} \left(\operatorname{span} \left(\bigcup_{i \in I} S_i^{\perp}\right)\right).

若\left(S_i\right)_{i \in I}是X的子集族，则

\left(\bigcup_{i \in I} S_i\right)^{\perp} = \bigcap_{i \in I} S_i^{\perp}.

若X是赋范空间，则根据规范对偶性，S^{\perp}在X^{\prime}中对范是封闭的，S^{\perp\perp}在X中对范是封闭的。

子空间
设M是X的向量子空间，并令(M, Y, b)表示(X, Y, b)对M \times Y的限制。
M上的弱拓扑\sigma(M, Y, b)与M从(X, \sigma(X, Y, b))继承的子空间拓扑相同。

另外，\left(M, Y / M^{\perp}, b\big\vert_M\right)是配对空间（paired space）（其中Y / M^{\perp}是Y / \left(M^{\perp}\right)），其中b\big\vert_M : M \times Y / M^{\perp} \to \mathbb{K}定义为
\left(m, y + M^{\perp}\right) \mapsto b(m, y).

拓扑\sigma\left(M, Y / M^{\perp}, b\big\vert_M\right)等于M继承自(X, \sigma(X, Y, b))的子空间拓扑。
此外，若(X, \sigma(X, Y, b))是对偶系统，则\left(M, Y / M^{\perp}, b\big\vert_M\right)也是。

商
设M是X的向量子空间，则\left(X / M, M^{\perp}, b / M\right)是配对空间，其中b / M : X / M \times M^{\perp} \to \mathbb{K}定义为
(x + M, y) \mapsto b(x, y).

拓扑\sigma\left(X / M, M^{\perp}\right)等同于(X, \sigma(X, Y, b))在X / M上诱导的一般的商拓扑。

极与弱拓扑
弱X是局部凸空间，且若H是连续对偶空间X^{\prime}的子集，则当且仅当对X中某桶B，有H \subseteq B^{\circ}时，H是\sigma\left(X^{\prime}, X\right)-有界的。

下列结果对定义极拓扑非常重要。
若(X, Y, b)是配对，A \subseteq X,则

A的极A^{\circ}是(Y, \sigma(Y, X, b))的闭子集。

下列集合的极相同：(a) A；(b) A的凸壳；(c) A的平衡壳；(d) A的\sigma(X, Y, b)-闭合；(e) A的凸平衡壳的\sigma(X, Y, b)-闭合。

双极定理：A的双极A^{\circ\circ}等于A的凸平衡壳的\sigma(X, Y, b)-闭合。

• 双极定理“是处理对偶性时不可或缺的工具”。

当且仅当A^{\circ}吸收于Y时，A是\sigma(X, Y, b)-有界的。

若Y还分离X的点，则当且仅当A是\sigma(X, Y, b)-全有界时，A是\sigma(X, Y, b)-有界的。

若(X, Y, b)是配对，\tau是X上与对偶一致的局部凸拓扑，则当且仅当B是Y的某\sigma(Y, X, b)-有界子集的极时，B\subseteq X是(X, \tau)中的桶。

转置
线性映射关于配对的转置
令(X, Y, b)和(W, Z, c)是\mathbb{K}上的配对，并令F : X \to W是线性映射。

\forall z \in Z,令c(F(\,\cdot\,), z) : X \to \mathbb{K}是由x \mapsto c(F(x), z)定义的映射。
若满足以下条件，就可以说F的转置或伴随是良定的（well-defined）：

X分离Y中的点（或等价地，从Y抵达代数对偶X^{\#}的映射y \mapsto b(\,\cdot\,, y)是单射），且

c(F(\,\cdot\,), Z) \subseteq b(\,\cdot\,, Y),其中c(F(\,\cdot\,), Z) := \{ c(F(\,\cdot\,), z) : z \in Z \},\ b(\,\cdot\,, Y) := \{ b(\,\cdot\,, y) : y \in Y \}.

这样，\forall z \in Z存在（由条件2）唯一的（由条件1）y \in Y，使c(F(\,\cdot\,), z) = b(\,\cdot\,, y)，其中Y的这个元素将表为{}^t F(z)。这定义了线性映射
{}^t F : Z \to Y

称作F的转置或关于(X, Y, b)和(W, Z, c)的伴随（注意不要与厄米伴随混淆）。不难看出，上述两个条件（即“转置良定义”）也是{}^t F良定的必要条件。
\forall z \in Z，{}^t F(z)的定义条件是
c(F(\,\cdot\,), z) = b\left(\,\cdot\,, {}^t F(z)\right),
即，
\forall x \in X,\ c(F(x), z) = b\left(x, {}^t F(z)\right).

根据本文开头提到的约定，这也定义了形式为Z \to Y,
X \to Z,
W \to Y,
Y \to W,等的线性映射的转置（见脚注）。

转置的性质
(X, Y, b)和(W, Z, c)是\mathbb{K}上的配对，F : X \to W是线性映射，其转置{}^t F : Z \to Y是良定义的。

• 当且仅当F的范围在\left(W, \sigma\left(W, Z, c\right)\right)中稠密时，{}^t F : Z \to Y是单射（即\operatorname{ker} {}^t F = \{ 0 \}）。
• 若除了{}^t F良定义外，{}^t F的转置也良定义，则{}^{tt} F = F。
• 设(U, V, a)是\mathbb{K}上的配对，E : U \to X是线性映射，其转置{}^t E : Y \to V是良定义的，则F \circ E : U \to W的转置{}^t (F \circ E) : Z \to V也是良定义的，且{}^t (F \circ E) = {}^t E \circ {}^t F.
• 若F : X \to W是向量空间同构，则{}^t F : Z \to Y是双射，F^{-1} : W \to X的转置{}^t \left(F^{-1}\right) : Y \to Z是良定义的，且{}^t \left(F^{-1}\right) = \left({}^t F\right)^{-1}
• 令S \subseteq X，S^{\circ}表示A的绝对极，则

*# [F(S)]^{\circ} = \left({}^t F\right)^{-1}\left(S^{\circ}\right)；
*# 若\forall T \subseteq W,\ F(S) \subseteq T，则{}^t F\left(T^{\circ}\right) \subseteq S^{\circ}；
*# 若T \subseteq W使得{}^t F\left(T^{\circ}\right) \subseteq S^{\circ}，则F(S) \subseteq T^{\circ\circ}；
*# 若T \subseteq W，S \subseteq X是弱闭圆盘，则当且仅当F(S) \subseteq T时，{}^t F\left(T^{\circ}\right) \subseteq S^{\circ}；
*# \operatorname{ker} {}^t F = [ F(X) ]^{\perp}.
: 将绝对极换成实极，这些结果不变。

若X、Y是规范对偶下的赋范空间、F : X \to Y是连续线性映射，则\|F\| = \left\|{}^t F\right\|。

弱连续性
线性映射F : X \to W，若F : (X, \sigma(X, Y, b)) \to (W, (W, Z, c))连续，则称其（关于(X, Y, b)和(W, Z, c)）弱连续。

下面的结果表明，转置映射的存在与弱拓扑密切相关。

{{Math theorem|name=命题|math_statement=
设X分离Y的点，F : X \to W是线性映射。
则下列条件等价：

F是弱连续的（即F : (X, \sigma(X, Y, b)) \to (W, (W, Z, c))连续）；

c(F(\,\cdot\,), Z) \subseteq b(\,\cdot\,, Y)；

F的转置是良定义的。

若F是弱连续的，则

• {}^t F : Z \to Y是弱连续的，即{}^t F : (Z, \sigma(Z, W, c)) \to (Y, (Y, X, b))连续；
• 当且仅当Z分离W的点，转置{}^t F良定义，这时{}^{tt} F = F。

}}

弱拓扑与规范对偶
设X是向量空间，X^{\#}是其代数对偶。则X的所有\sigma\left(X, X^{\#}\right)-有界子集包含于有限维向量子空间，X的所有向量子空间是\sigma\left(X, X^{\#}\right)-闭的。

弱完备性
若(X, \sigma(X, Y, b))是完备拓扑向量空间，例如X是\sigma(X, Y, b)-完备或（若无歧义）弱完备的情形。
存在不弱完备的巴拿赫空间（尽管在其范拓扑中是完备的）。

若X是向量空间，则在规范对偶下，\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)是完备的。
相反，若Z是豪斯多夫局部凸拓扑向量空间，且有连续对偶空间Z^{\prime}，则当且仅当Z = \left(Z^{\prime}\right)^{\#}时，\left(Z, \sigma\left(Z, Z^{\prime}\right)\right)是完备的；即，当且仅当将z \in Z发送到z处求值映射（即z^{\prime} \mapsto z^{\prime}(z)）的映射Z \to \left(Z^{\prime}\right)^{\#}是双射。

特别地，就规范对偶而言，若Y是X^{\#}的向量子空间，使Y分离X中的点，则当且仅当Y = X^{\#}，(Y, \sigma(Y, X))是完备的。
换句话说，X^{\#}不存在紧合向量子空间Y \neq X^{\#}使得(X, \sigma(X, Y))是豪斯多夫空间，且Y在弱-*拓扑（即逐点收敛的拓扑）中完备。
因此，若豪斯多夫局部凸拓扑向量空间X的连续对偶空间X^{\prime} 被赋以弱-拓扑，当且仅当X^{\prime} = X^{\#}（即X*上所有线性泛函都连续）时，X^{\prime}_{\sigma}是完备的。

Y与代数对偶的子空间的等同
若X分离Y的点、Z表示单射y \mapsto b(\,\cdot\,, y)的范围，则Z是X的代数对偶空间的向量子空间，且配对(X, Y, b)与规范配对\langle X, Z \rangle（其中\left\langle x, x^{\prime} \right\rangle := x^{\prime}(x)是自然求值映射）是规范等同（canonically identify）的。
特别地，这时我们将不失一般性地假设Y是X代数对偶的向量子空间，而b是求值映射。

:：通常，只要y \mapsto b(\,\cdot\,, y)是单射（尤其当(X, Y, b)形成对偶对），通常不失一般性地假设Y是X的代数对偶空间的向量子空间，且b是自然求值映射，Y还可记作X^{\prime}。

完全类似的是，若Y分离X中的点，则X就有可能等同于Y的代数对偶空间的向量子空间。

代数伴随
在对偶是规范对偶\left\langle X, X^{\#} \right\rangle和\left\langle W, W^{\#} \right\rangle的特例下，线性映射F : X \to W的转置总是良定义的。
此转置称作F的代数伴随，记作F^{\#}；
即F^{\#} = {}^t F : W^{\#} \to X^{\#}.
这样，\forall w^{\prime} \in W^{\#},\ F^{\#}\left(w^{\prime}\right) = w^{\prime} \circ F其中F^{\#}\left(w^{\prime}\right)的定义条件是
\left\langle x, F^{\#}\left(w^{\prime}\right) \right\rangle = \left\langle F(x), w^{\prime} \right\rangle \quad \forall >x \in X,
或等价地F^{\#}\left(w^{\prime}\right)(x) = w^{\prime}(F(x)) \quad \forall x \in X.

若对整数n，X = Y = \mathbb{K}^n，\mathcal{E} = \left\{ e_1, \ldots, e_n\right\}是X的基，其对偶基\mathcal{E}^{\prime} = \left\{ e_1^{\prime}, \ldots, e_n^{\prime} \right\},\ F : \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^n是线性算子，F关于\mathcal{E}的矩阵表示是M := \left(f_{i,j}\right)，则M的转置是F^{\#}关于\mathcal{E}^{\prime}的矩阵表示。

弱连续性与开性
设\left\langle X, Y \right\rangle，\langle W, Z \rangle是对偶系统的规范配对（所以Y \subseteq X^{\#},\ Z \subseteq W^{\#}），并令F : X \to W是线性映射。则当且仅当F : X \to W满足下列等价条件之一，F是弱连续的：

F : (X, \sigma(X, Y)) \to (W, \sigma(W, Z))连续；

F^{\#}(Z) \subseteq Y

F的转置{}^t F : Z \to Y相对于\left\langle X, Y \right\rangle和\langle W, Z \rangle是良定义的。

若F是弱连续的，则{}^t F : : (Z, \sigma(Z, W)) \to (Y, \sigma(Y, X))是连续的，于是{}^{tt} F = F

拓扑空间之间的映射g : A \to B，若g : A \to \operatorname{Im} g是开映射（\operatorname{Im} g是g的范围），则称之是相对开的。

设\langle X, Y \rangle,\ \langle W, Z \rangle是对偶系统，F : X \to W是弱连续线性映射。则下列条件等价：

F : (X, \sigma(X, Y)) \to (W, \sigma(W, Z))是相对开的；

{}^t F的范围在Y中\sigma(Y, X)-闭；

\operatorname{Im} {}^t F = (\operatorname{ker} F)^{\perp}

此外

• 当且仅当{}^t F是满射（或双射），F : X \to W是单射（或双射）；
• 当且仅当{}^t F : : (Z, \sigma(Z, W)) \to (Y, \sigma(Y, X))是相对开单射，F : X \to W是满射。

拓扑向量空间之间映射的转置
当且仅当F是弱连续的，两拓扑向量空间之间映射的转置才被定义。

设F : X \to Y是两豪斯多夫局部凸拓扑向量空间之间的线性映射，则

• 若F连续，则其是弱连续的，且{}^t F是麦基连续的，也是强连续的；
• 若F是弱连续的，则其是麦基连续的，也是强连续的（定义见下）。
• 若F是弱连续的，则当且仅当{}^t F : ^{\prime} \to X^{\prime}将Y^{\prime}的等度连续子集映射到X^{\prime}的等度连续子集时，F才是连续的。
• 若X和Y是赋范空间，则当且仅当F是弱连续的（这时\|F\| = \left\|{}^t F\right\|），F连续。
• 若F连续，则当且仅当F : X \to Y是弱相对开的（即F : \left(X, \sigma\left(X, X^{\prime}\right)\right) \to \left(Y, \sigma\left(Y, Y^{\prime}\right)\right)是相对开的）、且\operatorname{Im} {}^t F = {}^t F\left(Y^{\prime}\right)的等度连续子集都是Y^{\prime}的某等度连续子集的像时，F是相对开的。
• 若F是连续单射，则当且仅当X^{\prime}的等度连续子集都是Y^{\prime}的某等度连续子集的像，F : X \to Y是拓扑向量空间嵌入（或等价的拓扑嵌入）。

可度量化性与可分性
令X是局部凸空间，有连续对偶空间X^{\prime}，并令K \subseteq X^{\prime}。

若K是等度连续或\sigma\left(X^{\prime}, X\right)-紧的，且D \subseteq X^{\prime}使得\operatorname{span} D在X中稠密，则K从\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, D\right)\right)继承的子空间拓扑等同于K从\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)继承的子空间拓扑。

若X是可分的、K是等度连续的，则K被赋予由\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)诱导的子空间拓扑后是可度量化的。

若X是可分、可度量化的，则\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)是可分的。

若X是赋范空间，则当且仅当给定由\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)诱导的子空间拓扑，X的连续对偶空间的封闭单元（X的连续对偶空间）可度量时，X是可分的。

若X是赋范空间，其连续对偶空间可分（给定通常的范拓扑）时，X可分。

极拓扑与同配对相容的拓扑
从弱拓扑开始，极基的使用会产生一系列局部凸拓扑。这样的拓扑称作极拓扑，弱拓扑是其中最弱的。

(X, Y, b)将是\mathbb{K}上的配对，\mathcal{G}将是X的\sigma(X, Y, b)-有界子集的非空集合。

极拓扑
给定X子集的集合\mathcal{G}，Y上由\mathcal{G}（与b）定义的极拓扑（或Y上的\mathcal{G}-拓扑）是Y上唯一的拓扑向量空间拓扑，其中
\left\{ r G^{\circ} : G \in \mathcal{G}, r > 0 \right\}
形成了原点邻域的子基。
Y被赋予这\mathcal{G}-拓扑时，就表示为Y_{\mathcal{G}}。极拓扑都需要是局部凸的。
\mathcal{G}是关于子集包含的有向集合时（即若\forall G, K \in \mathcal{G}，\exists K \in \mathcal{G}使得G \cup H \subseteq K），则此0处的邻域子基实际上形成了0处的邻域基。

下面列出了一些较重要的极拓扑。

:：若\Delta(X, Y, b)表示Y上的极拓扑，则呗赋予此拓扑的Y将记作Y_{\Delta(Y, X, b)},\ Y_{\Delta(Y, X)}或Y_{\Delta}（如对\sigma(Y, X, b)我们有\Delta = \sigma，这样Y_{\sigma(Y, X, b)},\ Y_{\sigma(Y, X)}和Y_{\sigma}都表示赋予了\sigma(X, Y, b)的Y）。

与极拓扑有关的定义
连续性
若F : (X, \tau(X, Y, b)) \to (W, \tau(W, Z, c))连续，则线性映射F : X \to W是（关于(X, Y, b)和(W, Z, c)）麦基连续的。

若F : (X, \beta(X, Y, b)) \to (W, \beta(W, Z, c))是连续的，则线性映射F : X \to W是（关于(X, Y, b)和(W, Z, c)）强连续的。

有界子集
X的子集，若在(X, \sigma(X, Y, b))（或(X, \tau(X, Y, b))、(X, \beta(X, Y, b))）中有界，则称X是弱有界（或麦基有界、强有界）。

同配对相容的拓扑
弱(X, Y, b)是\mathbb{K}上的配对，\mathcal{T}是X上的向量拓扑，则\mathcal{T}是配对的拓扑，且若其局部凸、\left(X, \mathcal{T}\right)的连续对偶空间 = b(\,\cdot\,, Y)，则称之与配对(X, Y, b)相容或一致。
若X分离Y的点，则Y可视作X的代数对偶的向量子空间，定义条件变为\left(X, \mathcal{T}\right)^{\prime} = Y.有人（如[Trèves 2006]、[Schaefer 1999]）要求配对的拓扑也要是豪斯多夫的，若Y分离X的点（这些学者假设），则必须是豪斯多夫的。

弱拓扑\sigma(X, Y, b)同配对(X, Y, b)相容（如弱表示定理所示），事实上是最弱的拓扑。还有一种与这种配对相容的最强拓扑，即麦基拓扑。
若N是非自反的赋范空间，则其连续对偶空间上通常的范拓扑同对偶\left(N^{\prime}, N\right)不相容。

麦基–阿伦定理
下面是对偶理论中最重要的定理之一。

{{Math theorem|name=麦基–阿伦定理 I|math_statement=
令(X, Y, b)是配对，使X分离Y的点，并令\mathcal{T}是X上的局部凸拓扑（不必豪斯多夫）。
则，当且仅当\mathcal{T}是由某覆盖了Y的\sigma(Y, X, b)-紧圆盘集合\mathcal{G}确定的极拓扑时，称\mathcal{T}与配对(X, Y, b)相容。}}

由此可见，麦基拓扑\tau(X, Y, b)是由Y中所有\sigma(X, Y, b)-紧圆盘生成的极拓扑，是X上与配对 (X, Y, b)相容的最强局部凸拓扑。
给定拓扑与麦基拓扑相同的局部凸空间称作麦基空间。
上述麦基-阿伦定理的一下结果也称作麦基-阿伦定理。

{{Math theorem|name=麦基–阿伦定理 II|math_statement=
令(X, Y, b)是配对，使得X分离Y的点，并且\mathcal{T}是X上的局部凸拓扑。则，当且仅当\sigma(X, Y, b) \subseteq \mathcal{T} \subseteq \tau(X, Y, b)，\mathcal{T}与配对相容。}}

麦基定理、桶与闭凸集
若X是（\Reals或\Complex上的）拓扑向量空间，则半空间（half-space）是形式为\{ x \in X : f(x) \leq r \}的集合。（r是实数，f是X上的连续实值线性泛函）

上述定理说明，局部凸空间的闭子集和凸子集完全取决于连续对偶空间。于是，在任何与配对相容的拓扑中，闭子集和凸子集都相同；即，若\mathcal{T}、\mathcal{L}是X上的任意局部凸拓扑，且有同样的连续对偶空间，则当且仅当X的凸子集在\mathcal{L}拓扑中封闭，，此子集也在\mathcal{T}拓扑中封闭。
这说明，X任意凸子集的\mathcal{T}-闭等同于其\mathcal{L}-闭，对X中任意\mathcal{T}-闭圆盘A，A = A^{\circ\circ}。
特别地，若B是X的一个子集，则当且仅当B是(X, \mathcal{L})中的桶时，B也是(X, \mathcal{L})中的桶。

下面的定理说明，桶（即闭吸收圆盘）恰是弱有界子集的极。

{{Math theorem|name=定理|math_statement=
令(X, Y, b)是配对，使得X分离Y的点，并令\mathcal{T}为配对的某拓扑。
则当且仅当X的子集等于Y的某\sigma(Y, X, b)-有界子集的极时，此子集是X中的桶。}}

若X是拓扑向量空间，则

X的闭吸收平衡子集B吸收X的所有凸紧子集（即存在正实数r使得r B包含此集）。

若X是豪斯多夫局部凸的，则X中每个桶都吸收X的每个凸有界完备子集。

所有这些都引出了麦基定理，这是对偶系统理论的核心定理之一。简言之，定理支出，对符合相同对偶性的两豪斯多夫局部凸拓扑，有界子集是相同的。

{{Math theorem|name=麦基定理|math_statement=
设(X, \mathcal{L})是豪斯多夫局部凸空间，有连续对偶空间X^{\prime}，并考虑规范对偶\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle。
若\mathcal{L}是X上任意与对偶\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle相容的拓扑，则(X, \mathcal{L})的有界子集与(X, \mathcal{L})的有界子集相同。}}

有限序列空间
令X表示标量r_{\bull} = \left(r_i\right)_{i=1}^{\infty}的所有序列的空间，且对所有足够大的i都有r_i = 0。
令Y = X，定义双线性映射b : X \times X \to \mathbb{K}为
b\left(r_{\bull}, s_{\bull}\right) := \sum_{i=1}^{\infty} r_i s_i.
则\sigma(X, X, b) = \tau(X, X, b)。
此外，当且仅当存在正实数序列m_{\bull} = \left(m_i\right)_{i=1}^{\infty}，使得\left|t_i\right| \leq m_i,\ \forall t_{\bull} = \left(t_i\right)_{i=1}^{\infty} \in T、及所有指标i（或还有m_{\bull} \in X）时，子集T \subseteq X是\sigma(X, X, b)-有界（或\beta(X, X, b)-有界）的。

由此可见，X的子集中有弱有界（即\sigma(X, X, b)-有界）的，但没有强有界（即无\beta(X, X, b)-有界）的。

另见

• Beta对偶空间
• 双正交系统
• 对偶空间
• 对偶拓扑
• 对偶 (数学)
• 内积
• L半内积
• 配对 (数学)
• 极集
• 极拓扑
• 约化对偶对
• 强对偶空间
• 线性映射空间泛函
• 弱拓扑

注释
参考文献
书目
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• Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. .

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外部链接

• [https://www.math.ksu.edu/~nagy/func-an-2007-2008/dt-1.pdf Duality Theory]