索伯列夫空间
数学上，一个索伯列夫空间是一个由函数组成的賦範向量空間。对于某个给定的 p\geq 1，索伯列夫空间的范数是函数 f 的 k 阶导数和函数 f 的有限Lp范数的结合。 索伯列夫空间以苏联数学家舍蓋·索伯列夫来命名。它的重要性体现在一些偏微分方程的弱解在特定的索伯列夫空间存在，即使该偏微分方程在具有经典导数定义的连续函数空间不存在强解。 简介 对于数学函数的光滑性有很多種。最基本的要求可能就是函数要连续，更進一步的要求是可微（因为可微函数…
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共 88 篇文章
贝尔纲定理
贝尔纲定理（，）是点集拓扑学和泛函分析中的一个重要的工具。这个定理有两种形式，每一个都给出了拓扑空间是贝尔空间的充分条件。 该定理由勒内-路易·贝尔在他1899年的博士论文中证明。 定理的陈述 一个贝尔空间是一个拓扑空间，具有以下性质：对于任意可数个开稠密集Un，它们的交集∩ Un都是稠密的。 （BCT1）每一个完备度量空间都是贝尔空间。更一般地，每一个同胚于某个完备伪度量空间的开子集的拓扑空间都是贝尔空间。因此每一个完备可度量化的拓扑…
贝塞尔不等式
在数学里的泛函分析中，贝塞尔不等式（）是类似于勾股定理的一种不等式。贝塞尔不等式揭示了希尔伯特空间中的一个元素和它在一个正交序列上的投影之间的关系。举例来说，平面上的一个向量的长度的平方等于它在两个相互垂直的坐标轴上的投影的平方和，而对于一个三维空间上的向量，它在两个相互垂直的坐标轴上的投影的平方和一般会小于它自身的长度的平方，除非它就在这两个坐标轴构成的平面上。对于一个希尔伯特空间中的向量来说，它在任意一个正交序列上的投影的平方和也是…
本徵函數
在数学中，函数空间上定义的线性算子 A 的本征函数（，又稱-{zh-hant:特徵函数; zh-hans:固有函数}-）就是对该空间中任意一个非零函数 f 进行变换仍然是函数 f 或者其标量倍数的函数。更加精确的描述就是 : \mathcal A f = \lambda f 其中 λ 是标量，它是对应的特徵值。另外特徵值微分的解受到 f 边界条件的限制。当考虑限制条件的时候，只有特定的特徵值 \lambda=\lambda_n（n=1,…
范数
]] 范数（），是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，是一个函数，其为向量空间内的所有向量赋予非零的正长度或大小。另一方面，半范数（）可以为非零的向量赋予零长度。 举一个简单的例子，一个二维度的欧几里得空间 \R^2 就有欧氏范数。在这个向量空间的元素（譬如：(3, 7)）常常在笛卡尔坐标系统被画成一个从原点出发的箭号。每一个向量的欧氏范数就是箭号的长度。 拥有范数的向量空间就是赋范向量空间。同样，拥有半范数的…
哈代-李特爾伍德極大函數
數學上，一個局部可積函數的哈代－李特爾伍德極大函數（Hardy–Littlewood maximal function）在一點的值，是所有以該點為中心的球上函數的平均值的上確界。 定義 對一個在\mathbb R^n上定義的局部可積函數f，可定義其哈代－李特爾伍德極大函數Mf如下 ::Mf(x)=\sup_{r>0} \frac 1 {m(B(x,r))}\int_{B(x,r)}|f(y)|dm(y) （Mf(x)可能是\infty。…
柔化函数
在数学中，柔化函数（）是某种特殊的光滑函数。在分布理论中，柔化函数和某个不光滑的目标函数（可以是广义的函数）的卷积将是光滑的，因此通过取一系列的柔化函数，我们可以以卷积的方式来“逼近”目标函数。直觉上，给定某个不光滑的函数，它和柔化函数卷积之后变得“柔滑”了。比如说一个有“棱角”的函数，和柔化函数的卷积将会使得“棱角”被“磨圆”，但这个卷积函数的形状仍然和原来的（广义）函数“大致”一样。最早提出柔化函数概念的数学家是Kurt Otto …
结合律
在数学中，结合律（）是二元运算可以有的一個性质，意指在一个包含有二个以上的可结合运算子的表示式，只要运算数的位置没有改变，其运算的順序就不会对运算出来的值有影响。亦即，重新排列表示式中的括号并不会改变其值。例如： : (5+2)+1=5+(2+1)=8 上式中的括号虽然重新排列了，但表示式的值依然不变。當这在任何實数的加法上都成立时，我们说「实数的加法是一个可结合的运算」。 结合律不应该和交换律相混淆。交换律会改变表示式中运算元的位置，…
線性泛函
在線性代數中，線性泛函（）是指由向量空間到對應純量域的線性映射。在 ℝn中，向量空間的向量以行向量表示；線性泛函則會以列向量表示，在向量上的作用則為它們的矩陣積。一般地，如果 V 是域 k 上的向量空間，線性泛函 f 是一个从 V 到 k 的函数，它有以下的线性特性： :f(\vec{v}+\vec{w}) = f(\vec{v})+f(\vec{w}) \quad \forall \ \vec{v}, \vec{w}\in V :f(…
核 (线性算子)
在线性代数与泛函分析中，一个线性算子 L 的核（，也称作零空间，）是所有使 L(v) = 0 的v的集合。这就是如果 L: V →W，则 :\ker(L) = \left\{ v\in V : L(v)=0 \right\}\text{,} 这里 0 表示 W 中的零向量。L 的核是定义域 V 的一个线性子空间。 一个线性算子 Rm → Rn 的核与对应的 n × m 矩阵的零空间相同。 性质 如果 L: V → W，则 V 中两个元素…
泛函分析
上线性算子的本征函数，是泛函分析中一种常见的结构。]] 泛函分析（）是现代数学分析的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的函数空间。泛函分析历史根源是由对函数空间的研究和对函数的变换（如傅立叶变换等）的性质的研究。这种观点被证明是对微分方程和积分方程的研究中特别有用。 使用泛函这个词作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数，这意味着，一个函数的参数是函数。这个名词首次被雅克·阿达马在1910年使用于这个课题的书中。是泛函分…
正交补
在线性代数和泛函分析的数学领域中，内积空间 V 的子空间 W 的正交补（） W^\bot 是正交于 W 中所有向量的所有 V 中向量的集合，也就是 :W^\bot=\left\{\,x\in V : \forall y\in W, \langle x , y \rangle = 0 \, \right\}.\, 正交补总是闭合在度量拓扑下。在希尔伯特空间中，W 的正交补的正交补是 W 的闭包，就是说 :W^{\bot\,\bot}=\o…
巴拿赫空间
在泛函分析中，巴拿赫空間（）是完備賦範向量空間。更精確地說，巴拿赫空間是一個具有範數並對此範數完備的向量空間。其完备性体现在，空间内任意向量的柯西序列总是收敛到一个良定义的位于空间内部的極限。 巴拿赫空間有兩種常見的類型：「實巴拿赫空間」及「複巴拿赫空間」，分別是指將巴拿赫空間的向量空間定義於由實數或複數組成的域之上。許多在數學分析中學到的無限維函數空間都是巴拿赫空間，包括由連續函數（緊緻赫斯多夫空間上的連續函數）組成的空間、由勒貝格可…
Lp范数
L_p-范数（英语：L_p-norm，亦称 \ell_p-范数、p-范数)是向量空间中的一组范数。L_p-范数与幂平均有一定的联系。它的定义如下： L_p(\vec x) = \lVert\vec x\rVert_{p} = \Bigl(\sum_{i = 1}^{n}|x_{i}|^{p}\Bigr)^{1 / p},\qquad\vec x = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\},\,p\geqslant 1. p …
积分方程
积分方程是含有对未知函数的积分运算的方程，与微分方程相对。许多数学物理问题需通过积分方程或微分方程求解。 积分方程最基本的形式为第一类： : f(x) = \int_a^b K(x,t)\,\phi (t)\,dt, 其中，f和K已知，K又称核函数，\phi为所求未知函数。积分上下限a，b为常量。 如未知函数同时出现在积分符号内外，则该方程称作第二类：： : \phi (x) = f(x) + \lambda \int_a^b K(x,…
C*-代数
泛函分析中，*C-代数*（或读作“C星代数”）是配备了满足伴随性质的对合的巴拿赫代数。典型例子是满足以下两个性质的複希尔伯特空间上连续线性算子的複代数A： A是算子范数拓扑中的拓扑闭集。 A是算子伴随运算下的闭集。 另一类非常重要的C-代数包括X上的复值连续函数代数C_0(X)，其中X是局部紧豪斯多夫空间。 一般认为C-代数主要是应用在量子力学中可观察量的模型代数中。这方面的研究始于1933年左右维尔纳·海森堡创立的矩阵力学以及帕斯库尔…
帕塞瓦尔恒等式
在泛函分析中，以馬克-安托萬·帕塞瓦爾命名的帕塞瓦尔恒等式是一个有关函数的傅里叶级数的可加性的基础结论。从几何观点来看，这就是内积空间上的毕达哥拉斯定理。 通俗地说，此恒等式表明“函数的傅里叶系数的平方和”与“函数平方后的积分值”可以直接换算 :\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 \, dx, 在这里ƒ的傅里叶系数cn可通过下式…
斯通-冯诺伊曼定理
在数学和理论物理学中，斯通-冯诺伊曼定理是指位置和动量算子间的正则对易关系的唯一性的众多不同表述中的一种。它冠名于马歇尔·斯通和约翰·冯·诺依曼。 对易关系的表示问题 在量子力学中，物理可观测量在数学上由希尔伯特空间上的线性算子来表示。 对于在实轴 \mathbb{R} 上运动的单个粒子，有两个重要的可观测量：位置和动量。在薛定谔绘景中，位置算子 x 和动量算子 p 在 \psi 上的作用定义为\begin{align}[] x \ps…
哈恩-巴拿赫定理
在泛函分析中，哈恩－巴拿赫定理是一个极为重要的工具。它允许了定义在某个向量空间上的有界线性算子扩张到整个空间，并说明了存在“足够”的连续线性泛函，定义在每一个賦範向量空間，使对偶空间的研究变得有趣味。这个定理以汉斯·哈恩和斯特凡·巴拿赫命名，他们在1920年代後期独立证明了这个定理。 表述 定理的最一般的表述需要一些准备。给定标量體\mathbb{K}（实数域或复数域）上的一个向量空间V，一个函数\mathcal{N}:V\righta…
正交规范性
在線性代數裡，假若，內積空間的兩個向量是互相正交的，並且，兩個向量的範數都是 1 ，則稱這兩個向量互相具有正交规范性，又译單範正交性，正交歸一性。假若，一組向量全都是互相正交规范的，則稱這組向量為正交规范集。假若，這正交规范集形成了一個基，則稱這集合為正交规范基。