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范数（），是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，是一个函数，其为向量空间内的所有向量赋予非零的正长度或大小。另一方面，半范数（）可以为非零的向量赋予零长度。

举一个简单的例子，一个二维度的欧几里得空间 \R^2 就有欧氏范数。在这个向量空间的元素（譬如：(3, 7)）常常在笛卡尔坐标系统被画成一个从原点出发的箭号。每一个向量的欧氏范数就是箭号的长度。

拥有范数的向量空间就是赋范向量空间。同样，拥有半范数的向量空间就是赋半范向量空间。

定义
假设 V 是域 \mathbb{F} 上的向量空间；V 的半范数是一个函数 p:V\to\mathbb{R}; x\mapsto{}p(x)，满足：

\forall a \in \mathbb{F}, \forall u,v \in V,

p(v) \ge 0 （具有半正定性）

p(a v) = |a| p(v)（具有绝对一次齐次性）

p(u + v) \le p(u) + p(v)（满足三角不等式，或称次可加性）

范数是一个半范数加上额外性质：
:4. p(v)=0，当且仅当 v 是零向量（正定性）

如果拓扑向量空间的拓扑可以被范数导出，这个拓扑向量空间被称为赋范向量空间。

例子

• 所有范数都是半范数。
• 平凡半范数，即 p(x) = 0, \forall x \in V。
• 绝对值是实数集上的一个范数。
• 对向量空间上的次线性型 f 可定义一个半范数：\boldsymbol x \to |f(\boldsymbol x)|。

绝对值范数
绝对值范数为
:\|\boldsymbol{x}\|=\sum_i^n|x_i|
是在由实数或虚数构成的一维向量空间中的范数。

绝对值范数是曼哈顿范数的特殊形式。

欧几里得范数
在 n 维欧几里得空间 \mathbb R ^n 上，向量 \boldsymbol x = (x_1,x_2,\,\ldots\,,x_n)^{\mathrm T} 的最符合直觉的长度由以下公式给出
:\|\boldsymbol{x}\|_2 := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}.
根据勾股定理，它给出了从原点到点 \boldsymbol x 之间的（通常意义下的）距离。欧几里得范数是 \mathbb R ^n 上最常用的范数，但正如下面举出的，\mathbb R ^n 上也可以定义其他的范数。然而，以下定义的范数都定义了同一个拓扑结构，因此它们在某种意义上都是等价的。

在一个 n 维复数空间 \mathbb C ^n 中，最常见的范数是：
:\|\boldsymbol{z}\| := \sqrt{|z_1|^2 + \cdots + |z_n|^2}= \sqrt{z_1 \bar z_1 + \cdots + z_n \bar z_n}.

以上两者又可以以向量与其自身的内积的平方根表示：
:\|\boldsymbol{x}\| := \sqrt{\boldsymbol{x}^* \boldsymbol{x}},
其中 \boldsymbol{x} 是一个列向量（[x_1,x_2,\,\ldots\,,x_n]^{\mathrm T}），而 \boldsymbol x ^ * 表示其共轭转置。

以上公式适用于任何内积空间，包括欧式空间和复空间。在欧几里得空间里，内积等价于点积，因此公式可以写成以下形式：
:\|\boldsymbol{x}\| := \sqrt{\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{x}}.

特别地，\mathbb R ^{n+1} 中所有的欧几里得范数为同一个给定正实数的向量的集合是一个 n 维球面。

复数的欧几里得范数
如果将复平面看作欧几里得平面 \mathbb R ^2，那么复数的欧几里得范数是其绝对值（又称为模）。这样，我们可把 x+i\,y 视为欧几里得平面上的一个向量(稱等距同構)，由此，这个向量的欧几里得范数即为 \sqrt{x^2 +y^2}（最初由欧拉提出）。

参见

• 内积
• 赋范向量空间
• 矩阵范数
• 曼哈顿距离
• Lp 范数

参考文献
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