自反空间
自反空间是泛函分析中的概念。如果一个巴拿赫空间（或更一般地，一个局部凸拓扑向量空间）的连续对偶空间的连续对偶空间“是”其自身，就称这个空间为自反空间。其中的“是”表示两者无论作为线性向量空间还是作为拓扑空间都是等价的。自反的巴拿赫空间常常可以通过它们的集合特性来刻画。 详细定义 设X为标量域\mathbb{F}（\mathbb{F} = \mathbb{R}或\mathbb {C}）上的赋范向量空间，其中的范数记作\|\cdot\|。考…
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共 88 篇文章
闵可夫斯基不等式
在数学中，闵可夫斯基不等式（ inequality）表明Lp空间是一个赋范向量空间。设 S 是一个测度空间，1 \le p\le \infty , f ,g \in L^p(S)，那么 f + g \in L^p(S)，我们有： :\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p 如果 1 ，等号成立当且仅当 \exists k\geq 0,f = kg，或者 g = kf . 闵可夫斯基不等式是 L^p(S) 中的三角不…
博雷尔函数演算
在数学的一个分支——泛函分析中， 博雷尔函数演算是一种函数演算 。例如，将平方函数 s \mapsto s^2 作用到算子 T 上会得到算子 T^2 。而适用于更大范围的函数的函数演算使得我们可以（作为一个例子）严格地定义（负的）拉普拉斯算子 的“平方根”或指数 e^{it \Delta} 。 这里的「范围」是指允许的函数类型。博雷尔函数演算比连续函数演算更通用，其侧重点也不同于全纯函数演算。 更准确地说，博雷尔函数演算允许将任意博雷尔…
泛函导数
在数学和理论物理中，泛函导数是方向导数的推广。后者对一个有限维向量求微分，而前者则对一个连续函数（可视为无穷维向量）求微分。它们都可以认为是简单的一元微积分中导数的扩展。数学里专门研究泛函导数的分支是泛函分析。 定义 设有流形 M 代表（连续/光滑/有某些边界条件等的）函数 φ 以及泛函 F： ::F\colon M \rightarrow \mathbb{R} \quad \mbox{or} \quad F\colon M \righ…
一致有界性原理
數學上，一致有界性原理，又稱巴拿赫–斯坦豪斯定理、共鸣定理，是泛函分析的重要結果。定理斷言，對於任意一族定義在巴拿赫空间上的连续线性算子，該族算子逐點有界，當且僅當其在算子范数意義下一致有界。 定理最早由斯特凡·巴拿赫和於1927年發表，亦由漢斯·哈恩獨立證出。 定理內容 設 X 和 Y 為兩個巴拿赫空間。假設 F 為由 X 映向 Y 的若干個連續線性算子的集合。若對於 X 中的任意一個 x ，都有 :\sup\nolimits_{T …
函数演算
在数学中，函数演算（functional calculus）是一种使得函数得以能作用于算子的理论。它现在是泛函分析领域的一个分支（更准确地说，是几个相关领域），并与谱理论相关。 为使得函数作用于算子的需要得到满足，须对于给定的算子和函数定义一个新的算子。例如对于给定的向量空间 X 上的算子 T\in L(X) ，以及某一族寻常函数 F （如实数上的多项式函数所构成的集合），寻找这样一个映射 Z_T: F\to L(X) 使得 Z_T(f…
環形摺積
環形摺積與線性摺積類似，皆是針對兩個函數的運算子。假設兩個函數分別為f與g，則摺積運算過程即為將其中一個函數(如f)經過翻轉後，對於每個位移量，將重疊的部份相乘累加起來(見下文定義)。不同的地方在於環形摺積的位移為環形位移，而線性摺積的位移為平移。摺積亦可以視為滑動平移的推廣。 定義 兩個函數的環形摺積定義為對一個或兩個函數做週期延伸後之摺積運算，而所謂的週期延伸是指原來的函數平移固定長度的整數倍再全部加起來所產生的新函數。 x(t)經…
谱 (泛函分析)
在数学中，特别是在泛函分析中，有界算子的谱是矩阵的特征值集合的推广。具体来说，對於有界线性算子T，如果T-λI不可逆，其中I是恒等算子，則複數λ會被认为属于T的谱中。谱和相关性质的研究被称为谱理论，其具有许多应用，最值得注意的是量子力学的数学表述。 有限维向量空间上的算子的谱就是特征值的集合。然而，无限维空间上的算子在谱中可能有其他元素，并且可能没有特征值。例如，考虑希尔伯特空间ℓ2上的右移算子R， : (x_1, x_2, \dots…
圓周摺積
兩個函數的圓周摺積是由他們的週期延伸所來定義的。週期延伸意思是把原本的函數平移某個週期 T 的整數倍後再全部加起來，所產生的新函數。x(t) 的週期延伸可以寫成 :x_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(t - kT) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(t + kT). 兩個函數 x(t) 與 h(t) 的圓周摺積 (x…
算子拓扑
泛函分析中，在巴拿赫空间X上有几种标准拓扑被赋予有界线性算子代数B(H)。 概述 令(T_n)_{n \in \mathbb N}为巴拿赫空间X上的线性算子序列。考虑这样的陈述：(T_n)_{n \in \N}收敛到X上某算子T，这可能有歧义： 若\|T_n - T\| \to 0，即T_n - T的算子范数（\| T_n x - T x \|_X的上确界，其中x在X中的单位球面上）收敛到0，就称T_n \to T在一致算子拓扑中。 \…
算子代数
泛函分析中，算子代数是拓扑向量空间上连续线性算子的代数，乘法由映射复合给出。 算子代数的研究结果通常用代数术语表述，使用的技术则通常是高度分析的。算子代数研究通常归入泛函分析，在表示论、微分几何、量子统计力学、量子信息及量子场论等领域都有直接应用。 概览 算子代数可用于研究代数关系不大的任意算子集合，这样来看，算子代数可视作谱理论在单算子上的推广。一般来说，算子代数是非交换环。 算子代数通常要求在连续线性算子的整个代数内，以特定的算子拓…
商空间 (线性代数)
在线性代数中，一个向量空间V关于子空间N的商是将N“坍塌”为零得到的向量空间。所得的空间称为商空间（），记作V/N（读作：V模N）。 定义 正式地，此构造如下。设V是域K上的一个向量空间，且N是V的一个子空间。我们定义在V上定义一个等价关系~，如果x − y ∈ N则令x ~ y。即如果其中一个加上N中一个元素得到另一个，则x与y相关。x的所在等价类通常记作 :[x] = x + N， 因为它由 :[x] = {x + n : n ∈ …
对偶空间
在數學裡，任何向量空間V都有其對應的對偶向量空間（或簡稱為對偶空間），由V的線性泛函組成。此對偶空間俱有一般向量空間的結構，像是向量加法及純量乘法。由此定義的對偶空間也可稱之為代數對偶空間。在拓撲向量空間的情況下，由連續的線性泛函組成的對偶空間則稱之為連續對偶空間。 对偶空間是 row vector （1\times n）與 column vector （n\times 1）的關係的抽象化。這個結構能夠在無限維度空間進行並為测度,分佈及…
退化雙線性形式
對於一個在體 F ,向量空間 V 中,V × V → F 的雙線性形式B，如果V中存在一些非零的向量\,x 使得对於任意\,y \in V有 : B(x,y)=0\,則稱B是一个退化双线性形式。 非退化双线性形式 如果B是一个双线性形式，但不是退化双线性形式，則B是一个非退化双线性形式。这意味着如果对於任意y \in V有 : B(x,y)=0 則x = 0 。 非退化双线性形式常見的例子是内积和辛形式。对称的非退化双线性形式是内积的推…
黑林格-特普利茨定理
黑林格-特普利茨定理是數學泛函分析的定理，以德國數學家恩斯特·黑林格和奧托·特普利茨命名。 敘述 設\mathcal H為希爾伯特空間，T : \mathcal H \rightarrow \mathcal H是處處定義的對稱線性算子，即對任意x,\,y \in \mathcal H都有等式 :\langle Tx,y \rangle = \langle x,Ty \rangle。 那麼，T有界（因此也是連續）。 證明 從閉圖像定理可知…
赫爾德條件
數學上，稱\R^n上的實值函數f適合赫爾德條件，或稱赫爾德連續，當存在非負常數C，\alpha，使得 \forall x, y \in \R^n , : | f(x) - f(y) | \leq C |x - y| ^{\alpha}. 這條件可以推廣至任何兩個度量空間之間的函數。\alpha稱為赫爾德條件的指數。如果\alpha=1，則函數適合利普希茨條件。如果\alpha=0，則函數不過是有界的。 由適合某個赫爾德條件的函數組成的赫…
閉圖像定理
閉圖像定理是數學中泛函分析的一條定理。 敘述 設X，Y為巴拿赫空間，T:X \to Y為線性算子。定義T的圖像為X \times Y的子空間 : \Gamma (T) = \{(x,T(x))\in X\times Y \vert x \in X\}。 賦予X \times Y範數\|(x,y) \|_{X\times Y} = \|x \|_X + \| y \|_Y，使得X \times Y成為巴拿赫空間。那麼，這定理指T是連續的（…
摄动理论
{{Otheruses|subject=一般的数学-{zh-tw:微擾;zh-cn:摄动}-理论|other=量子力学的-{zh-tw:微擾;zh-cn:摄动}-理论|微擾理論 (量子力學)}} 摄动理论使用一些特別的数学方法來對於很多不具精确解的问题給出近似解，这些方法从相关的較簡單问题的精确解开始入手。摄动理论將原本問題分為具有精確解的較簡單部分與不具精確解的微扰部分。摄动理论适用的问题通常具有以下性質：通过加入一个微扰项於較簡單部…
离散化
求得離散化偏微分方程的一個解]] 在数学中，离散化关注连续模型和等式转化为离散形式的过程。离散化通常是处理对象使其易于数值计算机进行数值评估和处理的第一步。为适合计算机处理，额外还需要名为量化的过程。 欧拉离散 零阶保持 离散化也与离散数学有联系，同时也是粒度计算的一个重要部分。 线性状态空间模型的离散化 为适合数值计算，离散化也关注连续差分方程到离散差分方程的转化过程。 离散连续特征 在统计学和机器学习中，离散化指将连续特征或者变量，…
拉克斯-米爾格拉姆定理
拉克斯－米爾格拉姆定理是數學泛函分析的定理，以彼得·拉克斯和阿瑟·米爾格拉姆命名。这定理可用來藉弱形式求解偏微分方程，因此主要用作有限元法的理論基礎。 敘述 設 \mathcal{H}是實希爾伯特空間，其內積記作\langle\cdot,\cdot\rangle，導出範數\|\cdot\|， a(\cdot,\cdot)是雙線性型，使得 : 在\mathcal{H}\times\mathcal{H}上連續： ::\exists\,c>0…