自反空间

自反空间是泛函分析中的概念。如果一个巴拿赫空间（或更一般地，一个局部凸拓扑向量空间）的连续对偶空间的连续对偶空间“是”其自身，就称这个空间为自反空间。其中的“是”表示两者无论作为线性向量空间还是作为拓扑空间都是等价的。自反的巴拿赫空间常常可以通过它们的集合特性来刻画。

详细定义
设X为标量域\mathbb{F}（\mathbb{F} = \mathbb{R}或\mathbb {C}）上的赋范向量空间，其中的范数记作\|\cdot\|。考虑它的对偶赋范空间X'。依定义，X'是由所有从X射到标量域\mathbb{F}上的连续线性泛函f \; \; : \; X\to {\mathbb F}构成的空间（也称为连续对偶空间），装备了对偶范数\|\cdot\|'：
:\|f\|' = \sup \{ |f(x)| \,:\, x \in X, \ \|x\| \le 1 \}.

对偶空间X'因此也是赋范空间（可以证明是巴拿赫空间），而它的对偶赋范空间X=(X')'则称为元空间X的二次对偶空间（或称双对偶空间）。二次对偶空间由所有从X'射到标量域\mathbb{F}上的连续线性泛函h \; \; : \; X'\to {\mathbb F}构成的赋范空间，其中的范数\|\cdot\|是\|\cdot\|'的对偶范数。空间X中的任意向量x\in X都可以诱导一个标量函数J(x):X'\to{\mathbb F}，由以下的方法定义：
:
J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X',

这个J(x)是一个从X'射到标量域\mathbb{F}上的连续线性泛函，所以J(x)\in X*。因而可以定义一个映射：
: J: X \to X*
这个映射称作“赋值映射”，是一个线性映射。根据哈恩－巴拿赫定理，映射J是单射，并且保持范数：
:
\forall x\in X\qquad \|J(x)\|*=\|x\|,

这说明，映射J将空间X等距地映射到其在X中的像：J(X)上。而映射的像J(X)不一定是X的全部，有可能只是X*的一个拓撲子空間。而空间X被称为自反空间，如果它满足以下几个等价条件中的一个：
:# 赋值映射J:X\to X*是满射；
:# 赋值映射J:X\to X*是赋范空间之间的等距同构；
:# 赋值映射J:X\to X*是赋范空间之间的同构。
自反空间必然是巴拿赫空间，因为它和自身的二次对偶空间同构，而后者必然是巴拿赫空间。

自反空间通过赋值映射与其二次对偶空间等距同构。然而也存在这样的巴拿赫空间X，它与自身的二次对偶空间通过另外的方式等距同构（在另外的范数下），但如果考察赋值映射J，则它只将元空间X和它的二次对偶空间的一个子空间进行等距同构。这样的空间称为准自反空间。如果赋值映射J将X同构到它的二次对偶空间的某个子空间，而这个子空间的余维数为，则称元空间X为阶准自反空间。

例子
*每个有限维赋范向量空间都是自反空间。这是因为有限维赋范向量空间的对偶空间的维数等于元空间（因此二次对偶空间的维数也等于元空间）。因此，如果考虑赋值映射J，根据秩－零化度定理，J是同构。
*考虑由所有极限为零的实数列 \left( a_n \right)_{n\in \mathbb{N}}构成的向量空间c_0，并考虑其上的范数：
*:\forall a = \left( a_n \right)_{n\in \mathbb{N}} \in c_0, \; \; \| a \| = \sup_{n \in \mathbb{N}} \{ a_n \}
赋范向量空间c_0不是自反空间。由以下提到的基本性质可以推出，序列空间\ell^1和\ell^\infty也不是自反空间。因为\ell^1是c_0的对偶空间，\ell^\infty 是\ell^1的对偶空间。
*所有的希尔伯特空间都是自反空间。比如说，L^2空间是自反空间。另外，当1时，L^p空间都是自反空间。根据更一般的结论（），所有一致凸的巴拿赫空间都是自反空间。L^1(\mu)空间和L^\infty(\mu)空间在维数是无穷维的时候都不是自反空间。与此类似的，由区间[0, 1]上的连续函数构成的巴拿赫空间\mathcal{C}^0([0, 1])也不是自反空间。

性质
巴拿赫空间
:注意：本节中的“对偶空间”指的是拓扑意义上的“连续对偶空间”

*如果一个巴拿赫空间和某个自反巴拿赫空间同构，那么也是自反空间。
*自反巴拿赫空间的任意闭合子空间都是自反空间。
*自反巴拿赫空间空间对自身的任一个闭合子空间的商空间也是自反空间。
*如果一个巴拿赫空间的某个闭合子空间以及对的商空间都是自反空间，那么自身也是巴拿赫空间。
*设是巴拿赫空间，那么以下的命题相互等价：
*#是自反空间；
*#的对偶空间是自反空间。
*#中的闭单位球在弱拓扑中紧致（角谷静夫定理）。
*#中的有界序列都有弱收敛的子列。
*#中的任何连续线性泛函都在中的闭单位球上达到最大值（James定理）。

参见
参考来源