对偶空间

在數學裡，任何向量空間V都有其對應的對偶向量空間（或簡稱為對偶空間），由V的線性泛函組成。此對偶空間俱有一般向量空間的結構，像是向量加法及純量乘法。由此定義的對偶空間也可稱之為代數對偶空間。在拓撲向量空間的情況下，由連續的線性泛函組成的對偶空間則稱之為連續對偶空間。

对偶空間是 row vector （1\times n）與 column vector （n\times 1）的關係的抽象化。這個結構能夠在無限維度空間進行並為测度,分佈及希爾伯特空間提供重要的觀點。对偶空間的應用是泛函分析理論的特徵。傅立叶變換亦內蘊对偶空間的概念。

代數对偶空间
設V為 在域F上的向量空間，定義其对偶空間V^為由V到F*的所有線性函數的集合。
即是V的標量線性變換。V^本身是F的向量空間，並且對所有V^中的\phi及\varphi、所有F中的a、所有V中的x滿足以下加法及標量乘法：

: (\phi + \varphi )( x ) = \phi ( x ) + \varphi ( x ) \,
: ( a \phi ) ( x ) = a \phi ( x ) \,

在張量的語言中，V的元素被稱為反變或逆變（contravariant）向量，而V^*的元素被稱為共變或協變（covariant）向量、「餘向量」或「同向量」（co-vectors），「线性型」或「1-形式」（one-form）。

例子
如果V是有限維的，V^*的維度和V的維度便相等；
如果\left \{ e_1,...,e_n \right \}是V的基，V^*便應該有相對基\left \{ e^1,...,e^n \right \}，記作：

:
e^i (e_j)= \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{if }i = j \\ 0, & \mbox{if } i \ne j \end{matrix}\right.

如果V是平面幾何向量的空間，V^*便是一組組的平行線。我們能從平行線應用到任何向量產生一個標量。

如果V是無限維度，e^i不能產生V^的基；而V^的維度比V的大。

例如空間R^{(\omega)}的元素是實數列，其擁有很多非零數字。R^\omega的雙對空間是所有實數數列的空間。這些數列(a_n)被用於元素(x_n)而產生\sum_na_nx_n。

線性映射的轉置
設f:V\rightarrow W是線性映射。
f的轉置{}^t \! f:W^\rightarrow V^定義為
:
{}^t \! f (\varphi ) = \varphi \circ f \qquad \forall \varphi \in W^*

對任何向量空間V, W，定義L(V, W)為所有從V到W的線性映射組成的向量空間。f|\rightarrow {}^t \! f產生從L(V,W)至L(W^,V^)的單射；這是個同構若且唯若W是有限維的。

若 線性映射f表示作其對V, W的基之矩陣A ,則{}^t \! f表示作其對V^, W^的對偶基之轉置矩陣。
若g:W\rightarrow X是另一線性映射，則{}^t \! \left( g\circ f \right) = {}^t \! f \circ {}^t \! g。

在范畴論的語言裡，為任何向量空間取對偶及為任何線性映射取轉置都是向量空間范畴的逆變函子。

雙線性乘積及对偶空間
正如所見，如果V擁有有限維度，V跟V^是同構的，但是该同構并不自然；它是依賴于我们开始所用的V的基。事實上，任意同構\phi=\left ( V\rightarrow V^ \right )在V上定義了一個唯一的非退化的雙線性型：

: \langle v,w \rangle = (\Phi (v))(w) \,

相反地從每個在有限維空間中的非退化的雙線性積可以产生由V映射到V^*的同構。

到雙对偶空間内的單射
存在一個由V到其雙对偶V^{**}的自然映射\psi，定義為

\left ( \psi(v) \right )(\varphi)=\varphi(v)\forall v\in V,\varphi \in V^*

\psi常是單射；当且仅当V的維數有限時，\psi是個同構。

連續對偶空間
處理拓撲向量空間時，我们一般僅對該空間射到其基域的連續線性泛函感興趣。由此導致連續對偶空間之概念，此乃其代數對偶空間之一子空間。向量空間V之連續對偶記作V′。此脈絡下可逕稱連續對偶為對偶。

線性賦範向量空間V（如一巴拿赫空間或一希爾伯特空間）之連續對偶V產生一線性賦範向量空間。對一V上之連續線性泛函，其範數\left \Vert \varphi \right \Vert定義為

:\|\phi \| = \sup \{ |\phi ( x )| : \|x\| \le 1 \}

此法變一連續對偶為一線性賦範向量空間，實為巴拿赫空間。

例子
對任意有限維之線性賦範向量空間或拓撲向量空間，正如歐幾里得空間，其連續與代數對偶不二。

令1為實數，並考慮所有序列a=(a_n)構成之巴拿赫空間l p，使其範數
:\|\mathbf{a}\|_p = \left ( \sum_{n=0}^\infty |a_n|^p \right) ^{1/p}

有限。以\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1定義q，I^p其連續對偶遂自然等同於I^q：給定一元素\varphi\in(I^p)，I^q中相應元素為序列 \left ( \varphi(e_n) \right )，其中e_n謂第n項為1且餘項皆0之序列。反之，給定一元素a=(a_n)\in I^q，I^p上相應之連續線性泛函\varphi定為\varphi(a)=\sum_na_nx_n（對一切a=(a_n)\in I^p，見Hölder不等式）。

準此，I^1之連續對偶亦自然同構於I^\infty。再者，巴拿赫空間c（賦以上確界範數之全體收斂序列）及c_0（c中收斂至零者）之連續對偶皆自然同構於I^1。

進一步的性質
若V為希爾伯特空間，則其連續對偶亦然，並反同構於V；此即是里斯表示定理的陳述，同時也啟發了量子力學之數學描述時所用的狄拉克符號。

類似雙重代數對偶，對連續線性算子亦有連續單射\psi:V\rightarrow V，此映射實為等距同構，即 \left \Vert \psi(x) \right \Vert=\left \Vert x \right \Vert對一切V*中x皆真。使\psi為雙射之空間稱自反空间。

連續對偶賦V以一新拓撲，稱之為弱拓撲。

若V之對偶可分，則V亦可分。反之則不然：考慮空間I_1，則其對偶I\infty不可分。

引用
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