閉圖像定理

閉圖像定理是數學中泛函分析的一條定理。

敘述
設X，Y為巴拿赫空間，T:X \to Y為線性算子。定義T的圖像為X \times Y的子空間
: \Gamma (T) = \{(x,T(x))\in X\times Y \vert x \in X\}。
賦予X \times Y範數\|(x,y) \|_{X\times Y} = \|x \|_X + \| y \|_Y，使得X \times Y成為巴拿赫空間。那麼，這定理指T是連續的（與有界等價）當且僅當\Gamma (T) 在X \times Y內是閉集。

證明
閉圖像定理可以從開映射定理推導出來。

\Gamma (T) 是閉集的充分必要條件是如果序列\{(x_n,y_n)\}_n\subset \Gamma(T)（即對任意n有y_n=T(x_n)），而(x_n,y_n) \to (x,y)，那麼(x,y)\in \Gamma(T)，y=T(x)。如果T是連續的，從連續性立刻可知\Gamma (T) 是閉集，因為連續性是更強的條件：如果x_n \to x，則T(x_n)\to T(x)。

如果\Gamma (T) 是閉集，可以在\Gamma (T) 定義線性算子
: \pi_1: \Gamma (T) \to X,\ (x,y) \mapsto x，
: \pi_2: \Gamma (T) \to Y,\ (x,y) \mapsto y。
顯然\|\pi_2(x,y) \|_Y = \|y\|_Y \leq \|(x,y) \|_{X\times Y}，因此\pi_2是有界算子。

\Gamma (T)是巴拿赫空間X\times Y中的閉子空間，所以\Gamma (T)是巴拿赫空間。X也是巴拿赫空間，\pi_1是雙射，從而由開映射定理的系可知，其逆\pi_1^{-1}:X \to \Gamma (T)為有界算子。

因為T = \pi_2 \circ \pi_1^{-1}，故T也是有界的。

推論
從這定理可得出黑林格-特普利茨定理──希爾伯特空間上處處定義的對稱線性算子是有界的。