泛函
泛函以可求長曲線组成的向量空间（C([0,1],\mathbb{R}^3)的一个子集）为定义域，以实标量为输出值。这是一个非线性泛函的例子。]] 是以从\mathbb{R}到\mathbb{R}的黎曼可积函数组成的向量空间为定义域的线性泛函。]] 泛函（）指以函數构成的向量空间为定義域，以实数或复数域为值域的「函數」，即某一个依赖于其它一个或者几个函数确定其值的量，往往被称为“函数的函数”。在泛函分析中，泛函也用来指一个从任意向量空间到…
标签：#泛函分析
共 88 篇文章
格拉姆-施密特正交化
在线性代数中，如果内积空间上的一组向量能够组成一个子空间，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得-{出}-子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。 这种正交化方法以和埃哈德·施密特命名，然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawa decompositio…
单位球面
数学上，单位球面是到固定中心点距离为1的点的集合，其中距离可以是任何推广了的距离概念。单位球是单位球面所包围的区域。通常一个特定的点被表示为所研究的空间的原点，并且单位球面或单位球通常以该点为中心。因此通常单位球或者单位球面就是指以原点为中心的单位球或球面。 单位球面就是半径1的球面。单位球的重要之处是任何球面可以通过平移和缩放的组合来变换为单位圆。这样一般情况的球的属性可以归约到对于单位球的研究。 欧氏空间的单位球 n维欧氏空间中，单…
分布 (数学分析)
数学分析中，分布（distribution）是广义函数的一种，由法国数学家洛朗·施瓦茨首先于二十世纪五十年代引入，因此又称施瓦兹分布（Schwartz distribution）、施瓦兹广义函数（Schwartz generalized function）。分布推广了普通意义上的函数概念：对于普通意义上不可导甚至不连续的函数，可以具备分布意义上的导数。事实上，任意局部可积的函数都有分布意义上的弱导数。在偏微分方程的研究中，常常使用分布来…
正交函数
在数学中，正交函数（）所属的函数空间是有双线性形式的向量空间。当函数空间的定义域是一个区间，双线性形式可能是积分式： : \langle f,g\rangle = \int \overline{f(x)}g(x)\,dx 函数f与g在这个积分值是0时正交，即\langle f, \ g \rangle = 0 只要 f \neq g。 如有限维空间中的向量基一样，正交函数可以形成函数空间的无限基。从概念上讲，上述积分等效于矢量点积； 如…
反幺正算符
在线性代数中，一个反幺正算符是复希尔伯特空间上的反双线性映射， :\Omega : H \rightarrow H 对任意\Psi , \Phi \in H，满足， :\langle \Omega \Psi | \Omega \Phi \rangle = \langle \Phi | \Psi \rangle 反幺正算符常在量子理论中被用于表示某些对称性，例如时间反转。 维格纳定理进一步证明了它们在量子物理学中的根本重要性。 复共轭算符…
里斯表示定理
在泛函分析中有多个有名的定理冠以里斯表示定理（），它们是为了纪念匈牙利数学家弗里杰什·里斯。 希尔伯特空间的表示定理 此定理說明希尔伯特空间的連續線性泛函都可以表示成內積。 定理： H 是個複希尔伯特空间（也就是标量是複數），那對於任意連續線性泛函 f:H\to\C ，存在唯一的 v_f \in H 使得 : f(h) = \langle v_f,\,h\rangle 證明的重點在於先證明 f 的核的正交补是 H 的一维子空间，然後取那…
连续线性算子
在泛函分析和数学相关领域，连续线性算子()或连续线性映射()是拓扑向量空间之间的连续线性变换。 两个赋范空间之间的算子是有界线性算子，当且仅当它是连续线性算子。 性质 连续线性算子将有界集映射到有界集。 一个线性泛函是连续的，当且仅当其核是闭集。所有有限维空间上的线性泛函是连续的。 以下是等价的：给定拓扑空间X和Y之间的线性算子A： A在X中的0点处连续。 A在X中的某点x_0 A在X中的所有点处连续。 证明用到在线性拓扑空间中的开集的…
拉德馬赫系統
在數學中，特別是在泛函分析中，拉德馬赫系統（）是單位區間上的一個不完全正交函數係統，以美國數學家漢斯·拉德馬赫命名。其形式如下： : \{ t \mapsto r_{n}(t)=\sgn ( \sin 2^{n+1} \pi t ) ; t \in [0,1], n \in \N \}. 拉德馬赫系統是隨機獨立的，並與沃爾什系統密切相關。具體來說，沃爾什系統可以被構造為拉德馬赫函數的乘積。 參考資料 外部連結 * [https://en…
巴拿赫极限
在数学分析中，巴拿赫极限（）指的是定义在全体有界复序列组成的巴拿赫空间\ell^\infty上，对每个\ell^\infty中的序列x=(x_n)、y=(y_n)和复数\alpha满足： \phi(\alpha x+y)=\alpha\phi(x)+\phi(y)（线性）； 若对每个n\in \mathbb{N}有x_n\geq 0，则\phi(x)\geq 0（正定性）； \phi(x)=\phi(Sx)，其中S是移位算子，定义为(S…
巴拿赫-阿勞格魯定理
泛函分析和鄰近數學分支中，巴拿赫-阿勞格魯定理或阿勞格魯定理（或）斷言，任意賦範向量空間的連續對偶空間中，閉單位球在弱拓撲中為緊。常見證明將弱拓撲中的單位球看成一系列緊集之積的閉子集。根據吉洪诺夫定理，該些緊集的積拓撲空間仍為緊，故該球亦然。 定理在量子力學方面有應用。系統的可觀測量是某個C代數中的自伴算子，而量子態則是該代數上的線性泛函。此框架下，定理可以推出，每個量子態皆是純態的凸線性組合。 歷史 納里奇（）與貝肯斯坦（）書中，稱阿…
吸收集
在泛函分析和数学的相关领域中，向量空间中的集合S，如果其可以线性膨胀以包括向量空间中的任意元素，则 S 被称为吸收集()。是径向集的特殊情形，有时也被直接称为径向集。 定义 给定在实数或复数域 \mathbb{F} 上的向量空间 X，集合 S 被x\in X满足 : \forall \alpha \in \mathbb{F} : \vert \alpha \vert \ge r \Rightarrow x \in \alpha S 其中…
伯格曼空间
在复分析、泛函分析和算子理论中，伯格曼空间（）是指在复平面的某个区域 D 内的全纯函数空间，这些函数在边界处足够良好，以至于它们是绝对可积的，该空间以斯蒂芬·伯格曼（Stefan Bergman）的名字命名。具体来说，对于，伯格曼空间 是指在区域D内所有范数有限的全纯函数所组成的空间： : \|f\|_{A^p(D)} := \left(\int_D |f(x+iy)|^p\,\mathrm dx\,\mathrm dy\right)^…
内积空间
内积空间（）是增添了某種運算的向量空间，這種運算叫做内积，它推廣了原來欧几里德空间的點積，而從比較一般的角度看待向量的“夹角”、“长度”還有“正交性”。 相關術語 内积空间有时也叫做准希尔伯特空间（），因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。 在早期的著作中，本條目所定義的内积空间被称作-{zh-cn:酉;zh-tw:么正;}-空间，但這些著作裡的“内积空间”反而指的是有限維Euclid空间或可數維的Lp空间。 正式定义…
緊緻收斂
在數學上，緊緻收斂（）或是稱作緊緻集上的均勻收斂（）是一種由均勻收斂的想法上推廣之後的收斂性質。這種收斂性質與緊緻開拓樸有相關。 定義 讓(X, \mathcal{T})是一個拓樸空間而且(Y,d_{Y})是一個賦距空間。一個函數列 f_{n} : X \to Y, n \in \mathbb{N} 被稱作緊緻收斂到函數f : X \to Y 如果說對所有在X的緊緻集合K 有 f_{n}|_{K} \to f|_{K} 均勻收斂。這也代…
不变子空间
数学上，一个从某个线性空间 V 到自身的线性变换 : T : V \rightarrow V 的不变子空间是V的一个子空间W使得T(W)包含于W。T的一个不变子空间也称为是 T－不变的。 若W为T－不变，我们限制T到W上得到一个新的线性变换 :T|W : W \rightarrow W 不变子空间的存在使得对于T的研究变得更为简单。 当然 V 本身，和子空间{0}，是每个线性算子T : V \rightarrow V的平凡不变子空间。对…
盖尔范德–奈马克–西格尔构造
在数学分支泛函分析中，对于给定的C-代数 \mathcal A ， Gelfand–Naimark–Segal 构造（简称GNS构造）在一个C-代数的循环-表示与该C-代数上的某类线性泛函（称为态）之间建立了对应关系。这种对应关系是通过根据态来显式地构造-表示来建立的。其名称中的三位数学家分别是伊斯拉埃爾·蓋爾范德 、 和。 C-代数的态与表示 C-代数 \mathcal A 在希尔伯特空间 H 上的-表示是 \mathcal A 到 …
格羅滕迪克不等式
格羅滕迪克不等式 是數學中表示兩個量 :\max_{-1 \leq s_i \leq 1, -1 \leq t_j \leq 1 } \left| \sum_{i,j} a_{ij} s_i t_j \right| 及 :\max_{S_i,T_j \in B(H)} \left| \sum_{i,j} a_{ij} \langle S_i , T_j \rangle \right|, 的關係的不等式，其中B(H)是一個希爾伯特空間H中…
帕塞瓦尔定理
在数学中，帕塞瓦尔定理（或称帕塞瓦尔等式），经常指“傅里叶转换是幺正算符”这一结论；简而言之，就是说函数平方的和（或积分）等于其傅里叶转换式平方之和（或者积分）。这个定理产生于法國數學家马克-安托万·帕塞瓦尔（）在1799年所得到的一个有关级数的定理，该定理随后被应用于傅里叶级数。它也被称为瑞利能量定理或瑞利恒等式，以物理学家瑞利命名。 虽说帕塞瓦尔定理这一术语常用来描述任何傅里叶转换的幺正性，尤其是在物理学和工程学上，但这种属性最一般…
魏尔施特拉斯判别法
魏尔施特拉斯判别法是一个类似于比较审敛法的判别法，可以用于判断函数项级数的收敛性。 假设\{f_n\}是定义在集合A内的一个实数或复数函数的数列，并存在正的常数M_n，使得 :|f_n(x)|\leq M_n 对于所有的n≥1和A内所有的x。进一步假设级数 :\sum_{n=1}^{\infty} M_n 收敛。那么级数 :\sum_{n=1}^{\infty} f_n (x) 在A内一致收敛（常规意义下，以一致收敛的柯西逼近形式證明）…