泛函分析和鄰近數學分支中，巴拿赫-阿勞格魯定理或阿勞格魯定理（或）斷言，任意賦範向量空間的連續對偶空間中，閉單位球在弱拓撲中為緊。常見證明將弱拓撲中的單位球看成一系列緊集之積的閉子集。根據吉洪诺夫定理，該些緊集的積拓撲空間仍為緊，故該球亦然。

定理在量子力學方面有應用。系統的可觀測量是某個C*代數中的自伴算子，而量子態則是該代數上的線性泛函。此框架下，定理可以推出，每個量子態皆是純態的凸線性組合。

歷史
納里奇（）與貝肯斯坦（）書中，稱阿勞格魯定理為「非常重要的結果——也許是關於唯一（）最重要的事——迴響傳遍泛函分析。」1912年，赫利（）證明，閉區間上連續函數的空間C([a, b])，其連續對偶空間的單位球，為弱。1932年，斯特凡·巴拿赫證明，任何可分賦範向量空間的連續對偶中，閉單位球必為弱序列緊（他僅考慮了序列紧）。
一般情況的證明，是由於1940年發表。納里奇與貝肯斯坦書中，引述Pietsch [2007]指，至少有12個數學家可以主張自己證明此定理或某個重要前身。

布爾巴基-阿勞格魯定理（）是尼古拉·布尔巴基將原定理推廣到的的結果。此定理亦稱為巴拿赫-阿勞格魯定理或*弱緊定理（），也常簡稱為阿勞格魯定理**（）。

敍述
一般敍述
對於域\mathbb{K}上的向量空間X，以X^{\#}表示其代數對偶（所有線性泛函組成的空間）。兩者由雙線性求值映射\left\langle \cdot, \cdot \right\rangle : X \times X^{\#} \to \mathbb{K}所聯繫，該映射由
:\left\langle x, f \right\rangle := f(x)
定義。所以，三元組\left\langle X, X^{\#} \right\rangle（兩個空間及一個映射）組成，稱為典範對偶系。

若X進一步具有拓撲，即為拓撲向量空間（TVS），則可分辨其上的函數連續與否，並定義其連續對偶X^{\prime}為代數對偶X^{\#}中，連續泛函組成的子集。以\sigma\left(X^{\#}, X\right)表示X^{\#}上的。類似有\sigma\left(X^{\prime}, X\right)是X^{\prime}上的弱*拓撲。

弱拓撲又稱逐點收斂拓撲，因為給定映射f和一網映射f_{\bull} = \left(f_i\right)_{i \in I}，網f_{\bull}在弱拓撲中收斂至f，當且僅當對定義域中每點x，函數值組成的網\left(f_i(x)\right)_{i \in I}收斂到f(x)。

阿勞格魯定理

設X為任意拓撲向量空間（無需豪斯多夫或），X^{\prime}為其連續對偶，則對於X中原點的任何鄰域U（0 \in U \subseteq X），其
:U^{\circ} = \left\{ x^{\prime} \in X^{\prime} ~:~ \sup_{x \in U} \left| x^{\prime}(x) \right| \leq 1 \right\} \subseteq X',
在X^{\prime}上的{{註|更明確地說，子集B^{\prime} \subseteq X^{\prime}稱為「弱*拓撲中的緊集」，意思是若X^{\prime}配備，而子集B^{\prime}從空間\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)繼承子空間拓撲，則B^{\prime}為紧空间。將「緊集」換成其他性質（如「」）亦同。}}\sigma\left(X^{\prime}, X\right)中，必為緊集。

此外，U^{\circ}亦是U相對於典範對偶系\left\langle X, X^{\#} \right\rangle的極集，在拓撲空間\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)同樣為緊。

賦範特例
若X為賦範向量空間，則原點鄰域的極集，在對偶空間中為閉，且其範數有上界。特別地，若U為X的開（或閉）單位球，則U的極集為連續對偶空間X^{\prime}的閉單位球（對偶空間配備平常的對偶範數）。此時，定理化為以下特例：

巴拿赫-阿勞格魯定理

若X為賦範空間，則連續對偶空間X^{\prime}中，算子範數的閉單位球，為中的緊集。

當X的連續對偶X^{\prime}是無窮維賦範空間時，X^{\prime}中的閉單位球，不可能是平常範數拓撲的緊集。原因是，範數拓撲的閉單位球為緊，當且僅當空間為有限維（見）。此定理顯示出，在同一個向量空間上，考慮不同的拓撲，到㡳有何用。

但注意，巴拿赫-阿勞格魯定理並不推出弱拓撲為局部緊，因為僅知閉單位球在中為原點的鄰域，在弱拓撲中則不一定。弱*拓撲中，單位球的內部可能為空，除非空間為有限維。實際上，韋伊證明，局部緊的豪斯多夫拓撲向量空間必為有限維。

證明
對偶理論證明
記X的基域為\mathbb{K}，此處為實數域\R或複數域\Complex。證明會用到、、连续线性算子的基本性質，可參見該些條目，以下亦會簡單提及。

先列舉一些常見定義和性質。當代數對偶X^{\#}配備\sigma\left(X^{\#}, X\right)時，為一個豪斯多夫拓撲向量空間，記為\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)。空間\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)總是，但連續對偶\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)則不一定，此即證明需牽涉\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)的原因。具體而言，本證明用到的性質是：完備豪斯多夫空間的子集為緊，當且僅當其為閉，且。注意X^{\prime}從\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)繼承的子空間拓撲，等於弱*拓撲\sigma\left(X^{\prime}, X\right)。為驗證此事，只需檢查對每個x^{\prime} \in X^{\prime}，X^{\prime}中的網在其中一個拓撲中收斂到x^{\prime}，當且僅當在另一個拓撲中亦然（因為兩個拓撲結構相等，當且僅當其具有的收斂網完全一樣）。

三元組\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle也是（有雙線性映射(x, f) \mapsto f(x)），但與\left\langle X, X^{\#} \right\rangle不同，前者一般而言未必是對偶系。以下定義極集時，會註明是對於何種對偶而言。

設U為X原點的鄰域，又設：
*U^{\circ} = \left\{ f \in X^{\prime} ~:~ \sup_{u \in U} | f(u) | \leq 1 \right\}為U相對\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle的極集；
*U^{\circ\circ} = \left\{ x \in X ~:~ \sup_{f \in U^{\circ}} | f(x) | \leq 1 \right\}為U相對\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle的；
*U^{\#} = \left\{ f \in X^{\#} ~:~ \sup_{u \in U} | f(u) | \leq 1 \right\}為U相對\left\langle X, X^{\#} \right\rangle的極集。
極集的基本性質有U^{\circ\circ\circ} \subseteq U^{\circ}。

下證巴拿赫-阿勞格魯定理，分若干步：

先證U^{\#}在拓撲\sigma\left(X^{\#}, X\right)中為X^{\#}的閉子集：設f \in X^{\#}，又假設f_{\bull} = \left(f_i\right)_{i \in I}為U^{\#}中的網，在\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)中收斂到f。欲證f \in U^{\#}，即|f(u)| \leq 1對任意u \in U皆成立。因為在純量域\mathbb{K}中，f_i(u) \to f(u)，而每個值f_i(u)皆屬於（\mathbb{K}的）閉子集\left\{ s \in \mathbb{K} : |s| \leq 1 \right\}，故網的極限f(u)亦必在該子集中。於是|f(u)| \leq 1。

其次，欲證U^{\#} = U^{\circ}，以推出U^{\circ}既是\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)的閉子集，亦是\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)的閉子集：有包含關係U^{\circ} \subseteq U^{\#}，因為連續線性泛函尤其是線性泛函。反之，欲證\,U^{\#} \subseteq U^{\circ}，設f \in U^{\#}滿足\;\sup_{u \in U} | f(u) | \leq 1，換言之線性泛函f在鄰域U上有界，而泛函有界等價於連續，故f \in X^{\prime}，從而f \in U^{\circ}，即所求證。用第1步，結合交集U^{\#} \cap X^{\prime} = U^{\circ} \cap X^{\prime} = U^{\circ}在X^{\prime}的子空間拓撲中為閉，推得U^{\circ}為閉。

欲證U^{\circ}對X^{\prime}的\sigma\left(X^{\prime}, X\right)拓撲而言是子集：由，U \subseteq U^{\circ\circ}，又因為鄰域U為X中的吸收集，U^{\circ\circ}亦同。可以證明，此結論推出U^{\circ}是X^{\prime}對\sigma\left(X^{\prime}, X\right)而言的。由於XX^{\prime}各點，X^{\prime}的子集在\sigma\left(X^{\prime}, X\right)意義下有界，當且僅當在同樣意義下。所以，尤其有U^{\circ}在\sigma\left(X^{\prime}, X\right)意義下完全有界。

欲證U^{\circ}亦為X^{\#}在\sigma\left(X^{\#}, X\right)拓撲下的完全有界子集：已知X^{\prime}上，\sigma\left(X^{\prime}, X\right)拓撲等於X^{\prime}從\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)繼承的子空間拓撲，結合第3步與「完全有界」的定義，即推出U^{\circ}為X^{\#}在\sigma\left(X^{\#}, X\right)拓撲下的完全有界子集。

最後，欲證U^{\circ}為X^{\prime}在\sigma\left(X^{\prime}, X\right)拓撲下的緊子集：因為\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)為，又U^{\circ}為其閉（第2步）而完全有界（第4步）的子集，所以U^{\circ}為緊。定理證畢。

較初等的證明
以下證明，僅用到集合論、點集拓撲、泛函分析的基本概念。拓撲方面，需要熟悉使用拓扑空间中的網、積拓撲、兩者與逐點收斂的關聯（為方便起見，證明中也會給出部分細節）。同時也要瞭解，線性泛函為連續，當且僅當其在原點的某個鄰域上有界（見）。

設向量空間X的基域為\mathbb{K}，為實數系\R或複數系\Complex兩者之一。對任意實數r，以
:B_r := \{ s \in \mathbb{K} : |s| \leq r \}
表示以原點為球心，半徑為r的閉球。在\mathbb K中，此為緊的闭集。

極集的等價表示
由於U是X中原點的鄰域，可知U亦是X的吸收集，即對每個x \in X，皆有正實數r_x > 0使x \in r_x U := \left\{ r_x u : u \in U \right\}。以
:U^{\#} := \left\{ f \in X^{\#} ~:~ \sup_{u \in U} | f(u) | \leq 1 \right\} ~=~ \left\{ f \in X^{\#} ~:~ f(U) \subseteq B_1 \right\}
表示U相對典範對偶系\left\langle X, X^{\#} \right\rangle的極集。將證明，此極集U^{\#}，與定理提到，U相對\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle的極集U^{\circ}，兩者相等。

U^{\circ} \subseteq U^{\#}成立，是因為連續線性泛函按定義必是線性泛函。反之，欲證U^{\#} \subseteq U^{\circ}，設f \in U^{\#}滿足\sup_{u \in U} | f(u) | \leq 1，即線性泛函f在鄰域U上有界。所以f是连续线性算子（換言之f \in X^{\prime}），從而有f \in U^{\circ}，即所求證。

至此，已證明U^{\circ} = U^{\#}{{註|若\tau表示X原有的拓撲，則等式U^{\circ} = U^{\#}說明，U的極集U^{\circ} = \left\{ x^{\prime} \in X^{\prime} ~:~ \sup_{x \in U} \left| x^{\prime}(x) \right| \leq 1 \right\}，僅取決於U和X^{\#}，其餘拓撲結構\tau可忽略不理。更明確說，假設\sigma是X上另一個向量空間拓撲，使得(X, \sigma)為拓撲向量空間，且集合U在(X, \sigma)仍為原點的鄰域。記(X, \sigma)的連續對偶為(X, \sigma)^{\prime}，並記U相對(X, \sigma)的極集為

:U^{\circ, \sigma} := \left\{ x^{\prime} \in (X, \sigma)^{\prime} ~:~ \sup_{x \in U} \left|x^{\prime}(x)\right| \leq 1 \right\}.

（此定義下，U^{\circ, \tau}祇是舊的U^{\circ}。）則U^{\circ, \tau} = U^{\circ, \sigma}，因為兩者分別等於U^{\#}。換言之，極集U^{\circ, \sigma}的定義條件中，「U^{\circ, \sigma}是連續對偶空間(X, \sigma)^{\prime}子集」一項可以無視，因為對所得的線性泛函集合毫無影響。然而，若\nu是X上另一個向量空間拓撲 is a TVS topology on X，令U不是(X, \nu)原點的鄰域，則U相對(X, \nu)的極集U^{\circ, \nu}，不保證等於U^{\#}，所以不能如此無視拓撲\nu。}}，餘下的證明中，需理解笛卡儿积\prod_{x \in X} \mathbb{K}與所有X \to \mathbb{K}的映射構成的空間\mathbb{K}^X等同。仍需證明以下兩個命題：
#U^\circ為\mathbb{K}^X的閉子集。
#* 此處\mathbb{K}^X = \prod_{x \in X} \mathbb{K}配備的是逐點收斂拓撲，等同於積拓撲。
#U^\circ \subseteq \prod_{x \in X} B_{r_x}.
#* 其中B_{r_x} \subseteq \mathbb{K}表示以原點0為球心，r_x為半徑的閉球。本證明開始時，對每個x \in X，已定義r_x為使x \in r_x U的任意一個實數r_x > 0。特別地，對於u \in U，可以選r_u := 1。

以上命題推出，U^\circ為\prod_{x \in X} B_{r_x}的閉子集，而由吉洪诺夫定理，該积空间為緊{{註|由於每個B_{r_x}也是豪斯多夫空间，只用到吉洪諾夫定理的緊豪斯多夫情況，便足以說明\prod_{x \in X} B_{r_x}為緊。該特殊情況等價於，而比选择公理嚴格弱。}}（因為每個閉球B_{r_x}皆為緊）。因為緊空間的閉子集仍為緊，所以有U^{\circ}為緊集，從而證畢巴拿赫-阿勞格魯定理的主要結論。

極集為閉
以下證明前述命題1。代數對偶X^{\#}總是積空間\mathbb{K}^X = \prod_{x \in X} \mathbb{K} 的閉子集。要證明U^\circ在\mathbb{K}^X中為閉，祇需證明集合
:\widetilde{U}^\circ ~:=~ \left\{ f \in \mathbb{K}^X ~:~ \sup_{u \in U} |f(u)| \leq 1 \right\}
是\mathbb{K}^X的閉子集，因為若有此結論，則\widetilde U^\circ \cap X^{\#} = U^{\#} = U^\circ 是\mathbb{K}^X中兩閉集之交，故亦為閉集。

設f \in \mathbb{K}^X，又設f_{\bull} = \left(f_i\right)_{i \in I}為\widetilde{U}^\circ中的網，在\mathbb{K}^X中收斂到f。需要證明f \in \widetilde{U}^\circ。換言之，要證對每個u \in U，|f(u)| \leq 1（或等價寫成f(u) \in B_1）。由於在純量域\mathbb{K}中，\left(f_i(u)\right)_{i \in I} \to f(u)，且每項f_i(u)皆屬於\mathbb{K}中的閉子集B_1 = \left\{ s \in \mathbb{K} : |s| \leq 1 \right\}，此網的極限f(u)亦必屬於該閉集，即f(u) \in B_1。證畢命題1。

上述證明可以推廣，以論證以下命題：

設U \subseteq X為任意集合，B \subseteq Y為拓撲空間Y的閉子集，則在Y^X的逐點收斂拓撲中，P_U := \left\{ f \in Y^X ~:~ f(U) \subseteq B \right\}為閉子集。

命題1為其特殊情況，取Y := \mathbb{K}和B := B_1便得。

極集包含於緊空間之積
以下證明前述命題2。對任意z \in X，以\Pr{}_z : \prod_{x \in X} \mathbb{K} \to \mathbb{K}表示到第z個坐標的。欲證U^\circ \subseteq \prod_{x \in X} B_{r_x}。換言之，欲對每個x \in X，證明\Pr{}_x(U^\circ) \subseteq B_{r_x}。

於是選定x \in X，設f \in U^\circ；要證\Pr{}_x(f) := f(x) \in B_{r_x}。由r_x的定義，x \in r_x U，故\,u_x := \left(\frac{1}{r_x}\right) x \in U。因為f \in U^\circ = U^{\#}，線性泛函f滿足\;\sup_{u \in U} | f(u) | \leq 1，所以由u_x \in U，可知
:\frac{1}{r_x}| f(x) |
= \left|\frac{1}{r_x} f(x)\right|
= \left|f\left(\frac{1}{r_x} x\right)\right|
= \left|f\left(u_x\right)\right|
\leq \sup_{u \in U} |f(u)|
\leq 1.

所以| f(x) | \leq r_x，即f(x) \in B_{r_x}，證畢命題2。

序列版本
巴拿赫-阿勞格魯定理有個特殊情況，對可分空间使用，並將「緊」換成「序列緊」。此時定理斷言：

可分賦範向量空間的對偶中，閉單位球在弱*拓撲下是序列紧。

可度量
實際上，可分空間的對偶的閉單位球上，弱*拓撲可度量，故緊與序列緊等價。

明確而言，設X為可分賦範向量空間，而B為連續對偶X^{\prime}中的閉單位球。根據X可分的定義，有某個可數稠密子集，列舉為x_{\bull} = \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}。則下式定義一個度量：對於x, y \in B，
:\rho(x,y) = \sum_{n=1}^\infty \, 2^{-n} \, \frac{\left|\langle x - y, x_n \rangle\right|}{1 + \left|\langle x - y, x_n \rangle\right|,}
其中\langle\cdot,\cdot\rangle表示X^{\prime}與X的對偶匹配，即將後一個元素代入到前一個元素求值。此度量下，B為序列緊之事，用類似阿尔泽拉-阿斯科利定理的對角線證法，即可證明。

由於證明本質為構造性（而非如一般情況，用到非構造性的選擇公理），在偏微分方程學中，有時使用序列巴拿赫-阿勞格魯定理，構造偏微分方程或變分問題的解。舉例，若有某個可分賦範空間X，其對偶上有泛函F : X^{\prime} \to \R，欲求最小值，則常見策略是先構造序列x_1, x_2, \ldots \in X^{\prime}，使F的泛函值趨向下確界，然後訴諸序列巴拿赫-阿勞格魯定理，取出子序列(x_{n_k})_k，在弱拓撲下收斂到極限x，並確定x使F取最小值。最後一步通常要求F在弱拓撲下為（序列）下半連續。

考慮另一個例子，設X = C_0(\R)為實軸上，在無窮遠處消失的連續函數組成的空間，則由里斯-馬可夫表示定理，X^{\prime}為實軸上全體有限拉東測度的空間。此時序列巴拿赫-阿勞格魯定理等價於。

證明
下證序列版本的巴拿赫-阿勞格魯定理。

對每個x \in X，設

:D_x = \{ z \in \Complex : | z | \leq \|x\| \},

以及

:D = \prod_{x \in X} D_x.

因為D_x是複平面的緊子集，D在積拓撲中亦為緊（根據吉洪诺夫定理）。

X^{\prime}中的閉單位球B_1\left(X^{\prime}\right)，可以自然地看成D的子空間：考慮映射
:f \in B_1\left(X^{\prime}\right) \mapsto (f(x))_{x \in X} \in D,
其為單射，且對於B_1\left(X^{\prime}\right)的弱*拓撲和D的積拓撲而言，是連續映射。在像集上，映射的逆也連續。

欲完成定理的證明，只需證明映射的像為閉集。給定網D中的網
:\left(f_{\alpha}(x)\right)_{x \in X} \to \left(\lambda_x\right)_{x \in X},
等式g(x) = \lambda_x定義的泛函g，也在B_1(X^{\prime})中。定理證畢。

推論
賦範空間
假設X為賦範空間，則其連續對偶空間X^{\prime}具有对偶范数。

X^{\prime}中的閉單位球為弱*緊。相比之下，若X^{\prime}為無窮維，則其閉單位球在範數拓撲中必不為緊（）。
某巴拿赫空间自反，當且僅當其閉單位球在弱拓撲\sigma\left(X, X^{\prime}\right)下為緊。
若X為自反巴拿赫空間，則X中每個有界序列，都有弱收斂子列。（此為對X某個弱可度量子空間應用巴拿赫-阿勞格魯定理的結果。更簡潔而言，是應用。）舉例，設X為Lp空間L^p(\mu)，其中1 。設(f_n)_n為X中函數組成的有界序列。則存在子列(f_{n_k})_k，且有f \in X使得\int f_{n_k} g\,\mathrm d\mu \to \int f g\,\mathrm d\mu對於X^{\prime}= L^q(\mu)中的任意函數g成立，其中\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1。對於p= 1，沒有相應的結論，因為L^1(\mu)不自反。

希爾伯特空間
*任意希爾伯特空間中，閉有界集必然弱，即其在弱拓撲的閉包為弱緊，故每個有界網必有弱收斂子網（希爾伯特空間皆自反）。
*由哈恩－巴拿赫定理，範數拓撲中的閉凸集，在弱拓撲中也是閉集，故希爾伯特空間或自反巴拿赫空間中，凸有界集的範數閉包必為弱緊。
設H為希爾伯特空間，B(H)為其上有界算子的空間，則B(H)可以配備以下兩種不同的拓撲：一則，即B(H)作為跡類算子空間B_1(H)的對偶所具備的弱拓撲；二則，是使形如T \mapsto \langle Tx, y\rangle的映射皆連續的最弱的拓撲，此拓撲比超弱拓撲更弱。此定義下，B(H)中的閉有界子集，關於弱算子拓撲為相對緊。所以，算子的有界序列必有某個弱極限點。其推論是，B(H)配備弱算子拓撲或超弱拓撲時，滿足海涅-博雷尔性質。

與選擇公理的關係
通常，會用到吉洪诺夫定理來證明巴拿赫-阿勞格魯定理，所以要依賴於ZFC公理系統，尤其是选择公理。主流泛函分析中，許多結果皆依賴選擇公理。然而，本定理在可分空間的情況（見）並不依賴選擇公理，該情況下有構造性證明。對於不可分的情況，比選擇公理嚴格弱，但亦足以證明巴拿赫-阿勞格魯定理。反之，巴拿赫-阿勞格魯定理也推出超濾子引理，所以兩者等價。

參見
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註
參考資料

見§20.9。
見Theorem 23.5，p. 264。

{{cite book

| last=Rudin
| first=Walter
| author-link=Walter Rudin
| title=Functional Analysis
|trans-title = 泛函分析
| edition=Second
| volume={}
| publisher=McGraw-Hill Science/Engineering/Math
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| isbn=978-0-07-054236-5
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| url=https://archive.org/details/functionalanalys00rudi
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}} 見Theorem 3.15，p. 68。

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| last=Schaefer
| first=Helmut H.
| last2=Wolff
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| title=Topological Vector Spaces
| trans-title = 拓撲向量空間
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| year=1999
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}}
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{{cite book

| last=Trèves
| first=François
| title=Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels
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| publisher=Dover Publications
| location=Mineola, N.Y.
| year={}
| orig-year=1967
| isbn=978-0-486-45352-1
| oclc=853623322
| language = en
}}

巴拿赫-阿勞格魯定理

最後，欲證U^{\circ}為X^{\prime}在\sigma\left(X^{\prime}, X\right)拓撲下的緊子集：因為\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)為，又U^{\circ}為其閉（第2步）而完全有界（第4步）的子集，所以U^{\circ}為緊。定理證畢。

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