在数学分析中，巴拿赫极限（）指的是定义在全体有界复序列组成的巴拿赫空间\ell^\infty上，对每个\ell^\infty中的序列x=(x_n)、y=(y_n)和复数\alpha满足：

\phi(\alpha x+y)=\alpha\phi(x)+\phi(y)（线性）；

若对每个n\in \mathbb{N}有x_n\geq 0，则\phi(x)\geq 0（正定性）；

\phi(x)=\phi(Sx)，其中S是移位算子，定义为(Sx)_n=x_{n+1}（移位不变性）；

若x是收敛序列，则\phi(x)=\lim x

的连续线性泛函\phi: \ell^\infty \to \mathbb{C}。

因此，\phi是对连续线性泛函\lim:c\to \mathbb C的延拓，其中c \subset\ell^\infty是\mathbb C中收敛到某个极限的全体序列组成的复向量空间。进而可以视为发散级数论中的一个可和法。

换句话说，巴拿赫极限是对通常意义下极限概念的延拓，并且是线性、移位不变、正定的。可以对某个序列找到两个巴拿赫极限，使得各自作用下得到两个不同的值，我们称这类序列的巴拿赫极限不是唯一确定的。

作为上述性质的一个推论，每个实值巴拿赫极限也满足：

: \liminf_ {n\to\infty} x_n\le\phi(x) \le \limsup_{n\to\infty}x_n

巴拿赫极限的存在性通常需要应用哈恩-巴拿赫定理证明（分析学方法），也可以应用超滤子（这种方法在集合论的讨论中出现得更频繁）。这些证明都一定会用到选择公理（即所谓的非构造证明）。

几乎收敛
某些不收敛的级数在巴拿赫极限的作用下是唯一确定的。 例如x=(1,0,1,0,\ldots)，注意到x+S(x)=(1,1,1,\ldots)是常序列，并且

:2\phi(x)=\phi(x)+\phi(Sx)=\phi(x+Sx)=\phi((1,1,1,\ldots))=\lim((1,1,1,\ldots))=1.

因此对每个巴拿赫极限而言，它以1/2为极限。

我们将每个巴拿赫极限\phi下有相同的\phi(x)的有界序列x称为几乎收敛的。

Ba 空间
在c \subset\ell^\infty中给定收敛序列x=(x_n)，如果考虑对偶\langle\ell^1,\ell^\infty\rangle，x通常的极限并不由\ell^1的某个元素给出。实际上\ell^\infty是\ell^1的连续对偶空间（对偶巴拿赫空间）；反过来，\ell^1虽然能诱导出\ell^\infty中的连续线性泛函，但并不是全部。每个\ell^\infty上的巴拿赫极限都是\ell^\infty的对偶巴拿赫空间中的一个元素，但不在\ell^1中。\ell^\infty的对偶叫做ba空间，由一切自然数集子集的σ-代数上有限可加（符号）测度组成，或者等价地说是由每个自然数集的Stone–Čech紧化上的波莱尔（符号）测度组成。

外部链接
*

参考
*
*