泛函

泛函以可求長曲線组成的向量空间（C([0,1],\mathbb{R}^3)的一个子集）为定义域，以实标量为输出值。这是一个非线性泛函的例子。]]
是以从\mathbb{R}到\mathbb{R}的黎曼可积函数组成的向量空间为定义域的线性泛函。]]
泛函（）指以函數构成的向量空间为定義域，以实数或复数域为值域的「函數」，即某一个依赖于其它一个或者几个函数确定其值的量，往往被称为“函数的函数”。在泛函分析中，泛函也用来指一个从任意向量空间到标量域的映射。泛函中的一类特例线性泛函引发了对对偶空间的研究。泛函的应用可以追溯到变分法，其中通常需要寻找一个函数用来最小化某个特定泛函。在物理学上，寻找某个能量泛函的最小系统状态是泛函的一个重要应用。

设S\ 是由一些函数構成的集合。所谓S\ 上的泛函就是S\ 上的一个实值函数。S\ 称为该泛函的容许函数集。

函数的变换某种程度上是更一般的概念，参见算子。

例子
设在 xOy 平面上有一簇曲线 y(x) , 其长度为 L = \int_C ds = \int_{x_0}^{x_1} \sqrt{1 + {y'}^2}dx 。

显然，y(x)不同, L也不同，即L的数值依赖于整个函数y(x) 而改变。 L 和函数 y(x) 之间的这种依赖关系就称为泛函关系。

性质
對偶性
觀察映射
: x_0 \mapsto f(x_0)
是一個函數，在這裡，x_0是函數f的自变量。

同時，將函數映射至一個點的函數值
: f \mapsto f(x_0)
是一個泛函，在此x_0是一個參數

只要 f 是一個從向量空間至一個佈於實數的體的線性轉換，上述的線性映射彼此對偶，那麼在泛函分析上，這兩者都稱作線性泛函。

参见

• 线性泛函
• 最优化
• 张量

参考资料
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