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格拉姆-施密特正交化

Wikipedia · 2025-12-26 维基百科 👁 1 阅读

在线性代数中，如果内积空间上的一组向量能够组成一个子空间，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得-{出}-子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。

这种正交化方法以和埃哈德·施密特命名，然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawa decomposition）。

在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是数值不稳定的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。可以用于矩阵计算。

记法

  • \boldsymbol{V}^n：维数为n 的内积空间
  • \boldsymbol{v} \in \boldsymbol{V}^n：\boldsymbol{V}^n中的元素，可以是向量、函数，等等
  • \langle \boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2 \rangle：\boldsymbol{v}_1**与\boldsymbol{v}_2的内积
  • \mathrm{span} \{ \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots , \boldsymbol{v}_n \}：\boldsymbol{v}_1、\boldsymbol{v}_2……\boldsymbol{v}_n张成的子空间
  • \mathrm{proj}_{\boldsymbol{v}}\,\boldsymbol{u} = {\langle \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}\rangle\over\langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{v}\rangle}\boldsymbol{v}：\boldsymbol{u}在\boldsymbol{v}上的投影

基本思想
Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。

设\boldsymbol{v} \in \boldsymbol{V^n}。\boldsymbol{V}^k是\boldsymbol{V}^n上的k维子空间，其标准正交基为\{ \boldsymbol{\eta}_1,\ldots, \boldsymbol{\eta}_k \}，且\boldsymbol{v}不在\boldsymbol{V}^k上。由投影原理知，\boldsymbol{v}与其在\boldsymbol{V}^k上的投影\mathrm{proj}_{\boldsymbol{V^k}} \boldsymbol{v}之差
:
\boldsymbol{\beta}
= \boldsymbol{v} - \sum_{i=1}^{k}\mathrm{proj}_{\boldsymbol{\eta}_i}\,\boldsymbol{v}
= \boldsymbol{v} - \sum_{i=1}^{k}\langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{\eta}_i \rangle \boldsymbol{\eta}_i

是正交于子空间\boldsymbol{V}^k的，亦即\boldsymbol{\beta}正交于\boldsymbol{V}^k的正交基\boldsymbol{\eta}_i。因此只要将\boldsymbol{\beta}单位化，即

:
\boldsymbol{\eta}_{k+1}
= \frac{\boldsymbol{\beta}}{\|\boldsymbol{\beta}\|}
= \frac{\boldsymbol{\beta}}{\sqrt{\langle \boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\beta} \rangle }}

那么\{ \boldsymbol{\eta}_1,\ldots, \boldsymbol{\eta}_{k}, \boldsymbol{\eta}_{k+1} \}就是\boldsymbol{V}^k在\boldsymbol{v}上扩展的子空间\mathrm{span}\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{\eta}_1,...,\boldsymbol{\eta}_k\}的标准正交基。

根据上述分析，对于向量组\{ \boldsymbol{v}_1,\ldots, \boldsymbol{v}_{m} \}张成的空间\boldsymbol{V}^m (m)，只要从其中一个向量（不妨设为 \boldsymbol{v}_1 ）所张成的一维子空间 \mathrm{span}\{\boldsymbol{v}_1\} 开始（注意到 \boldsymbol{v}_1 就是 \mathrm{span}\{\boldsymbol{v}_1\} 的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到\boldsymbol{V}^n 的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。

算法
首先需要确定已有基底向量的顺序，不妨设为\{ \boldsymbol{v}_1,\ldots, \boldsymbol{v}_{n} \}。Gram-Schmidt正交化的过程如下：

|-
|| ||\boldsymbol{\beta}_2
= \boldsymbol{v}_2-\langle \boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{\eta}_1 \rangle \boldsymbol{\eta}_1,
|| ||\boldsymbol{\eta}_2 = {\boldsymbol{\beta}_2 \over \|\boldsymbol{\beta}_2\|}
|-
|| ||\boldsymbol{\beta}_3
= \boldsymbol{v}_3 -
\langle \boldsymbol{v}_3, \boldsymbol{\eta}_1 \rangle \boldsymbol{\eta}_1 -
\langle \boldsymbol{v}_3, \boldsymbol{\eta}_2 \rangle \boldsymbol{\eta}_2 ,

|| ||\boldsymbol{\eta}_3 = {\boldsymbol{\beta}_3 \over \|\boldsymbol{\beta}_3\|}
|-
|| ||align="center"|\vdots
|| ||align="center"|\vdots
|-
|| ||\boldsymbol{\beta}_n = \boldsymbol{v}_n-\sum_{i=1}^{n-1}\langle \boldsymbol{v}_n, \boldsymbol{\eta}_i \rangle \boldsymbol{\eta}_i,
|| ||\boldsymbol{\eta}_n = {\boldsymbol{\beta}_n\over\|\boldsymbol{\beta}_n\|}
|}

这样就得到\mathrm{span}\{ \boldsymbol{v}_1, \ldots , \boldsymbol{v}_n \}上的一组正交基\{ \boldsymbol{\beta}_1, \ldots , \boldsymbol{\beta}_n \}，以及相应的标准正交基\{ \boldsymbol{\eta}_1, \ldots , \boldsymbol{\eta}_n \}。

;例
考察如下欧几里得空间Rn中向量的集合，欧氏空间上内积的定义为 = bTa：
:S = \lbrace\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\end{pmatrix}, \boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}2 \\2\end{pmatrix}\rbrace.

下面作Gram－Schmidt正交化，以得到一组正交向量：
:\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}
:\boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{v}_2-\mathrm{proj}_{\boldsymbol{\beta}_1}\,\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}-\mathrm{proj}_{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}

下面验证向量\boldsymbol{\beta}_1与\boldsymbol{\beta}_2的正交性：
:\langle\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2\rangle = \left\langle \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix} \right\rangle = -\frac65 + \frac65 = 0.

将这些向量单位化：
:\boldsymbol{\eta}_1 = {1 \over \sqrt {10}}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}
:\boldsymbol{\eta}_2 = {1 \over \sqrt {8 \over 5}}\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}

于是\{ \boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_{2} \}就是 \mathrm{span}\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2 \} 的一组标准正交基底。

不同的形式
随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同，Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。

例如，在实向量空间上，内积定义为：
:\langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle = \boldsymbol{b}^T \boldsymbol{a}

在复向量空间上，内积定义为：
:\langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle = \boldsymbol{b}^H \boldsymbol{a}

函数之间的内积则定义为：
:\langle f(x), g(x) \rangle = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)g(x) dx

与之对应，相应的Gram－Schmidt正交化就具有不同的形式。

参见

  • 内积空间
  • 内积
  • 正交
  • QR分解

外部链接
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#線性代數 #泛函分析

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