赫爾德條件

數學上，稱\R^n上的實值函數f適合赫爾德條件，或稱赫爾德連續，當存在非負常數C，\alpha，使得 \forall x, y \in \R^n ,

: | f(x) - f(y) | \leq C |x - y| ^{\alpha}.

這條件可以推廣至任何兩個度量空間之間的函數。\alpha稱為赫爾德條件的指數。如果\alpha=1，則函數適合利普希茨條件。如果\alpha=0，則函數不過是有界的。

由適合某個赫爾德條件的函數組成的赫爾德空間，在泛函分析有關解偏微分方程的領域有基本地位。記\Omega為某個歐幾里得空間的開集，赫爾德空間 C^{n, \alpha} (\Omega)所包含的函數，是直到n階微分都適合指數\alpha的赫爾德條件。這是拓撲向量空間，可以定義半範數：

: | f |_{C^{0,\alpha}} = \sup_{x,y \in \Omega} \frac{|x-y|^\alpha},

對 n\geq 0 ，下式給出範數：

: \| f \|_{C^{n, \alpha}} = \|f\|_{C^n}+\max_{| \beta | = n} | D^\beta f |_{C^{0,\alpha}}
其中\beta涵蓋所有多重指標，而
:\|f\|_{C^n}=\max_{| \beta | \leq n}\sup_{x\in\Omega} |D^\beta f (x)|

C^{0,\alpha}({\mathbb R})的例子

• 如果0，那麼所有C^{0,\beta}赫爾德連續函數都是C^{0,\alpha}赫爾德連續的。這也包括了\beta=1(这里需要集合是有界的)，所以所有利普希茨連續函數都是C^{0,\alpha}赫爾德連續。

• 在[0,3]上定義函數f(x)=\sqrt{x}，f不是利普希茨連續；但對\alpha\le\frac12，f是C^{0,\alpha}赫爾德連續。