闵可夫斯基不等式

在数学中，闵可夫斯基不等式（ inequality）表明Lp空间是一个赋范向量空间。设 S 是一个测度空间，1 \le p\le \infty , f ,g \in L^p(S)，那么 f + g \in L^p(S)，我们有：

:\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p

如果 1 ，等号成立当且仅当 \exists k\geq 0,f = kg，或者 g = kf .

闵可夫斯基不等式是 L^p(S) 中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样，闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式：

:\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{\frac{1}{p}} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{\frac{1}{p}} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{\frac{1}{p}}

将所有实数 x_1,\cdots , x_n, y_1\,,\ \cdots, y_n（n 为 S 的维数）改成复数同样成立。

值得指出的是，如果 x_1,\cdots , x_n, y_1, \cdots, y_n > 0，p ，则 \le 可以变为 \ge .

积分形式的证明
我们考虑 \|f+g\|_p 的 p 次幂：

\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}\cdot p}=\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx

（用三角形不等式展开 |f(x)+g(x)|）

\leq\int_{a}^{b}|f(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx+\int_{a}^{b}|g(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx

（用赫尔德不等式）

\leq\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{q\left(p-1\right)}dx\right)^{\frac{1}{q}}+ \left(\int_{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{q\left(p-1\right)}dx\right)^{\frac{1}{q}}

=\left[\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}\right]\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{qp-q}dx\right)^{\frac{1}{q}}

（利用 p=qp-q，因为\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1）

=\left[\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}\right]\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{\frac1q}

现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项。首项除以尾项的最后一个因子，即得

\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}\leq
\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}

这正是我们所要的结论。

对于序列的情形，证明是完全类似的。

参阅

• 马勒不等式

参考文献
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