數學上，一個局部可積函數的哈代－李特爾伍德極大函數（Hardy–Littlewood maximal function）在一點的值，是所有以該點為中心的球上函數的平均值的上確界。
定義
對一個在\mathbb R^n上定義的局部可積函數f，可定義其哈代－李特爾伍德極大函數Mf*如下
::Mf(x)=\sup_{r>0} \frac 1 {m(B(x,r))}\int_{B(x,r)}|f(y)|dm(y)
（Mf(x)可能是\infty。） 其中m是\mathbb R^n上的勒貝格測度。
性質
Mf(x)是下半連續函數。
證明
對任何x\in \mathbb R^m，可假設Mf(x) > 0。（否則幾乎處處f=0）
任意取0 0使得
::c_1:=\frac 1 {m(B(x,r))}\int_{B(x,r)}|f(y)|dm(y) > c
存在\delta >0使得(r/(r+\delta))^n > c/c_1。
對任何x'\in B(x,\delta)，有B(x,r)\subset B(x',r+\delta)
所以
::\begin{align}
& Mf(x')\\
&\geq\frac 1 {m(B(x',r+\delta))}\int_{B(x',r+\delta)}|f(y)|dm(y) \\
&\geq \frac 1 {m(B(x',r+\delta))}\int_{B(x,r)}|f(y)|dm(y) \\
&= \frac 1 {m(B(x',r))} \left(\frac r {r+\delta}\right)^n\int_{B(x,r)}|f(y)|dm(y) \\
&= \frac 1 {m(B(x,r))} \left(\frac r {r+\delta}\right)^n\int_{B(x,r)}|f(y)|dm(y) \\
&> c_1 \cdot \frac c {c_1} = c
\end{align}
因此Mf是下半連續。
哈代－李特爾伍德極大不等式
設f\in\mathrm L^1(\mathbb R^n)為可積函數，對任何常數c>0，有不等式
::m(\{Mf>c\})\leq \frac{3^n\|f\|_{\mathrm L^1}}{c}
證明
對每個在集合\{Mf > c\}內的點x，都有r_x>0，使得
::\frac 1 {m(B(x,r_x))}\int_{B(x,r_x)}|f(y)|dm(y) > c
設K為\{Mf > c\}內的緊集。開球(B(x,r_x))_{x\in K}是K的一個開覆蓋。因K緊緻，存在有限子覆蓋(B(x_i,r_i))_{i=1}^N。（r_i:=r_{x_i}）
用維塔利覆蓋引理，這有限子覆蓋中存在子集(B(x_{i_j},r_{i_j}))_{i_j}，當中的開球兩兩不交，而且將這些開球的半徑增至三倍後B(x_{i_j},3r_{i_j})可以覆蓋K。於是
::\begin{align}
m(K) &\leq \sum_{i_j} m(B(x_{i_j},3r_{i_j}))\\
&=\sum_{i_j} 3^n m(B(x_{i_j},r_{i_j})) \\
&
上式第四行的不等式使用了開球兩兩不交性質。從勒貝格測度的內正則性，集合\{Mf > c\}的測度等於在其內的所有緊集的測度的上確界，故有
::m(\{Mf > c\})=\sup_K m(K)\leq \frac {3^n \|f\|_{\mathrm L^1}}{c}
應用
哈代－李特爾伍德極大不等式可以用來證明勒貝格微分定理。
參考
Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis*, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.
评论 (0)