在泛函分析中，哈恩－巴拿赫定理是一个极为重要的工具。它允许了定义在某个向量空间上的有界线性算子扩张到整个空间，并说明了存在“足够”的连续线性泛函，定义在每一个賦範向量空間，使对偶空间的研究变得有趣味。这个定理以汉斯·哈恩和斯特凡·巴拿赫命名，他们在1920年代後期独立证明了这个定理。
表述
定理的最一般的表述需要一些准备。给定标量體\mathbb{K}（实数域或复数域）上的一个向量空间V，一个函数\mathcal{N}:V\rightarrow\mathbb{R}称为次线性的，如果：
:\mathcal{N}(ax+by)\leq|a|\mathcal{N}(x) + |b|\mathcal{N}(y)\qquad\forall x,y\in V\quad\forall a,b\in\mathbb{K}.
可以很容易证明，V上的每一个范数和每一个半范数都是次线性的。其它的次线性函数也可以是很有用的。
哈恩－巴拿赫定理说明，如果\mathcal{N}:V\rightarrow\mathbb{R}是一个次线性函数，\varphi:U\rightarrow\mathbb{K}是V的子空间U上的一个线性泛函，满足：
:|\varphi(x)|\leq\mathcal{N}(x)\qquad\forall x \in U
那么存在\varphi到整个空间V的一个线性扩张\psi:V\rightarrow\mathbb{K}，也就是说，存在一个线性泛函ψ，使得：
:\psi(x)=\varphi(x)\qquad\forall x\in U
以及：
:|\psi(x)|\leq\mathcal{N}(x)\qquad\forall x\in V.
扩张ψ一般不是由\varphi唯一指定的，定理的证明也没有给出任何求出ψ的方法：在无穷维空间V的情形中，它依赖于佐恩引理——选择公理的一个表述。
我们可以把\mathcal{N}的次线性条件稍微减弱，只需要：
:\mathcal{N}(ax+by)\leq|a|\mathcal{N}(x) + |b|\mathcal{N}(y)\qquad\forall x,y\in V\quad |a|+|b|=1\in\mathbb{R}
根据（Reed and Simon, 1980）。这揭示了哈恩-巴拿赫定理与凸性的密切联系。
重要的结果
这个定理有一些重要的结果，其中有些也有时称为“哈恩-巴拿赫定理”：
- 如果V是一个赋范向量空间，其子空间为U（不一定是闭的），且φ : U → K是连续和线性的，那么存在φ的一个扩张ψ : V → K，也是连续和线性的，且范数与φ相同（关于线性映射的范数的讨论，参见巴拿赫空间）。也就是说，在赋范向量空间的范畴中，空间\mathbb{K}是一个内射对象。
- 如果V是一个赋范向量空间，其子空间为U（不一定是闭的），且z是V的一个元素，不在U的闭包内，那么存在一个连续线性映射ψ : V → K，对于U内的所有x都满足ψ(x) = 0，ψ(z) = 1，且||ψ|| = 1/dist(z,U)。
哈恩-巴拿赫分离定理
哈恩-巴拿赫定理的另外一种形式，称为哈恩-巴拿赫分离定理。它在凸几何中有许多用途。
定理：设V为 \mathbb K = \mathbb R或\mathbb C上的一个拓扑向量空间，A和B 是 V的非空凸子集。假设A \cap B = \varnothing。那么：
#如果A是开集，那么存在一个连续线性映射\lambda\colon V \to \mathbb K和 t \in \mathbb R，使得对于所有的a \in A和b \in B，都有 \operatorname{Re}\,\lambda(a) 。
#如果V 是局部凸的，A 是紧集，且B 是闭集，那么存在一个连续线性映射 \lambda\colon V \to \mathbb K和 s, t\in \mathbb R，使得对于所有的a \in A和b \in B，都有 \operatorname{Re}\,\lambda(a) 。
与选择公理的关系
前面已经提到，从选择公理可以推出哈恩-巴拿赫定理。然而，反过来不成立。注意超滤子引理比选择公理更弱，但从它也可以推出哈恩-巴拿赫定理（反过来则不行）。实际上，哈恩-巴拿赫定理还可以用比超滤子引理更弱的假设来证明。对于可分巴拿赫空间，Brown和Simpson证明了哈恩-巴拿赫定理可以从WKL0——一个二阶算术的弱子系统推出。
参见
- M·里斯扩张定理
- 自反空间
注释
参考文献
- Lawrence Narici and Edward Beckenstein, "[https://web.archive.org/web/20110604230051/http://at.yorku.ca/p/a/a/a/16.htm The Hahn–Banach Theorem: The Life and Times]", Topology and its Applications, Volume 77, Issue 2 (1997) Pages 193-211.
- Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6.
评论 (0)