数学上，加托导数(英文: Gâteaux derivative)是微分学中的-{方向}-导数的概念的推广。它以勒內·加托命名，他是一位法国数学家，年青时便死于第一次世界大战。它定义于局部凸的拓扑向量空间上，可以和巴拿赫空间上的弗雷歇导数作对比。二者都经常用于形式化泛函导数的概念，常见于變分法和物理学，特别是量子场论。和其他形式的导数不同，加托导数是非线性的。
定义
假设 X 和 Y 是局部凸拓扑向量空间，（例如巴拿赫空间），U\subset X 是開集合(open set)，且 F:X\rightarrow Y。
F 在點 u\in U 沿着 \psi\in X 方向的加托偏微分(Gâteaux differential) dF(u,\psi) 定义为
:
dF(u,\psi)=\lim_{\tau\rightarrow 0}\frac{F(u+\tau \psi)-F(u)}{\tau}=\left.\frac{d}{d\tau}F(u+\tau \psi)\right|_{\tau=0}
如果极限存在。固定 u 若 dF(u,\psi) 对于所有 \psi \in X 都存在，则称 F 在 u\in U 是加托可微(Gâteaux differentiable )。若 F 在 u 是加托可微，稱 dF(u, \cdot) 為在 u 的加托導數。
称 F 是在 U 中连续可微的若
:dF:U\times X \rightarrow Y
是连续的。
属性
若加托导数存在，则其为唯一。
对于每个u\in U，加托导数是一个算子dF:X\rightarrow Y.。
该算子是齐次的，使得
dF(u,\alpha\psi)=\alpha dF(u,\psi)\,，但是它通常不是可加的，并且，因此而不总是线性的，不像Fréchet导数。
例子
令 X 为一个在欧几里得空间 \mathbb{R}^n 勒贝格可测集 \Omega 上的平方可积函数的希尔伯特空间，也就是說 X=\{u:\Omega\mapsto \mathbb{R}\mid \int_\Omega u^2 是勒貝格可測集 \}。泛函 E:X\rightarrow \mathbb{R} 由
: E(u)=\int_\Omega F\left( u(x) \right)dx
给出，其中 F 是一个定義在實數上的可微实值函数且 F'=f\, 而 u 為定義在 \Omega 的實數值函數，则加托导数为
:
dE(u,\psi)=(f(u),\psi),\quad\quad(f(u),\psi) 這符號代表 \int_\Omega f(u(x))\psi(x) \,dx\,.
更詳細的說：
:
\frac{E(u+\tau\psi) - E(u)}{\tau} = \frac{1}{\tau} \left( \int_\Omega F(u+\tau\psi)dx - \int_\Omega F(u)dx \right)
:
\quad\quad =\frac{1}{\tau} \left( \int_\Omega\int_0^1 \frac{d}{ds} F(u+s\tau\psi) \,ds\,dx \right)
:
\quad \quad =\int_\Omega\int_0^1 f(u+s\tau\psi)\psi \,ds\,dx.
令\tau\rightarrow 0 (并假设所有积分有定义)，得到加托导数
:dE(u,\psi)=\int_\Omega f(u(x))\psi(x) \,dx,
也就是，内积(f(u),\psi).\,
参看
- 导数 (推广)
参考
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